Trigonometría Ejemplos

$2 \cos^{2} (22.5) - 1$

Step 1

El valor exacto de $\cos (22.5)$ es $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Reescribe $22.5$ como un ángulo donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas dividido por $2$ .

$2 \cos^{2} (\frac{45}{2}) - 1$

Aplica la razón del ángulo mitad del coseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$2 {(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}})}^{2} - 1$

Cambia $\pm$ por $+$ porque el coseno es positivo en el primer cuadrante.

$2 {\sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}}}^{2} - 1$

El valor exacto de $\cos (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 {\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2} - 1$

Simplifica $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

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Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$2 {\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2} - 1$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 {\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2} - 1$

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}}^{2} - 1$

Multiplica $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Multiplica $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$2 {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}}^{2} - 1$

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}}^{2} - 1$

Reescribe $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$2 {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})}^{2} - 1$

Simplifica el denominador.

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Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$2 {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})}^{2} - 1$

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$2 {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})}^{2} - 1$

Step 2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$2 \frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}} - 1$

Step 3

Reescribe ${\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$ como $2 + \sqrt{2}$ .

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ como ${(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{{({(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 1$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 1$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$2 \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 1$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$2 \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 1$

Reescribe la expresión.

$2 \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1}}{2^{2}} - 1$

Simplifica.

$2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2^{2}} - 1$

Step 4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$2 \frac{2 + \sqrt{2}}{4} - 1$

Step 5

Cancela el factor común de $2$ .

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Factoriza $2$ de $4$ .

$2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2 (2)} - 1$

Cancela el factor común.

$2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - 1$

Reescribe la expresión.

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} - 1$

Step 6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Step 7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Step 8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 + \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}$

Step 9

Reescribe $\frac{2 + \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}$ en forma factorizada.

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Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 + \sqrt{2} - 2}{2}$

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{0 + \sqrt{2}}{2}$

Suma $0$ y $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Step 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Forma decimal:

$0.70710678 \dots$