Trigonometría Ejemplos

$(4 \sqrt{3} - 4 i) \cdot (8 i)$

Paso 1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \sqrt{3} (8 i) - 4 i (8 i)$

Paso 2

Multiplica $8$ por $4$ .

$32 \sqrt{3} i - 4 i (8 i)$

Paso 3

Multiplica $- 4 i (8 i)$ .

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Paso 3.1

Multiplica $8$ por $- 4$ .

$32 \sqrt{3} i - 32 i i$

Paso 3.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$32 \sqrt{3} i - 32 (i^{1} i)$

Paso 3.3

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$32 \sqrt{3} i - 32 (i^{1} i^{1})$

Paso 3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$32 \sqrt{3} i - 32 i^{1 + 1}$

Paso 3.5

Suma $1$ y $1$ .

$32 \sqrt{3} i - 32 i^{2}$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$32 \sqrt{3} i - 32 \cdot - 1$

Paso 4.2

Multiplica $- 32$ por $- 1$ .

$32 \sqrt{3} i + 32$

Paso 5

Reordena $32 \sqrt{3} i$ y $32$ .

$32 + 32 \sqrt{3} i$

Paso 6

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 7

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 8

Sustituye los valores reales de $a = 32$ y $b = 32 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(32 \sqrt{3})}^{2} + 32^{2}}$

Paso 9

Obtén $| z |$ .

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Paso 9.1

Simplifica la expresión.

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Paso 9.1.1

Aplica la regla del producto a $32 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{32^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 32^{2}}$

Paso 9.1.2

Eleva $32$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{1024 {\sqrt{3}}^{2} + 32^{2}}$

Paso 9.2

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 9.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{1024 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 32^{2}}$

Paso 9.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 32^{2}}$

Paso 9.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 32^{2}}$

Paso 9.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.2.4.1

Cancela el factor común.

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 32^{2}}$

Paso 9.2.4.2

Reescribe la expresión.

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3 + 32^{2}}$

Paso 9.2.5

Evalúa el exponente.

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3 + 32^{2}}$

Paso 9.3

Simplifica la expresión.

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Paso 9.3.1

Multiplica $1024$ por $3$ .

$| z | = \sqrt{3072 + 32^{2}}$

Paso 9.3.2

Eleva $32$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{3072 + 1024}$

Paso 9.3.3

Suma $3072$ y $1024$ .

$| z | = \sqrt{4096}$

Paso 9.3.4

Reescribe $4096$ como $64^{2}$ .

$| z | = \sqrt{64^{2}}$

Paso 9.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$| z | = 64$

Paso 10

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{32 \sqrt{3}}{32})$

Paso 11

Como la tangente inversa de $\frac{32 \sqrt{3}}{32}$ produce un ángulo en el primer cuadrante, el valor del ángulo es $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Paso 12

Sustituye los valores de $θ = \frac{π}{3}$ y $| z | = 64$ .

$64 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))$