Trigonometría Ejemplos

$(3 - 2 i) \cdot (7 + 6 i)$

Paso 1

Expande $(3 - 2 i) (7 + 6 i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (7 + 6 i) - 2 i (7 + 6 i)$

Paso 1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 \cdot 7 + 3 (6 i) - 2 i (7 + 6 i)$

Paso 1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 \cdot 7 + 3 (6 i) - 2 i \cdot 7 - 2 i (6 i)$

Paso 2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Multiplica $3$ por $7$ .

$21 + 3 (6 i) - 2 i \cdot 7 - 2 i (6 i)$

Paso 2.1.2

Multiplica $6$ por $3$ .

$21 + 18 i - 2 i \cdot 7 - 2 i (6 i)$

Paso 2.1.3

Multiplica $7$ por $- 2$ .

$21 + 18 i - 14 i - 2 i (6 i)$

Paso 2.1.4

Multiplica $- 2 i (6 i)$ .

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Paso 2.1.4.1

Multiplica $6$ por $- 2$ .

$21 + 18 i - 14 i - 12 i i$

Paso 2.1.4.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$21 + 18 i - 14 i - 12 (i^{1} i)$

Paso 2.1.4.3

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$21 + 18 i - 14 i - 12 (i^{1} i^{1})$

Paso 2.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$21 + 18 i - 14 i - 12 i^{1 + 1}$

Paso 2.1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$21 + 18 i - 14 i - 12 i^{2}$

Paso 2.1.5

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$21 + 18 i - 14 i - 12 \cdot - 1$

Paso 2.1.6

Multiplica $- 12$ por $- 1$ .

$21 + 18 i - 14 i + 12$

Paso 2.2

Suma $21$ y $12$ .

$33 + 18 i - 14 i$

Paso 2.3

Resta $14 i$ de $18 i$ .

$33 + 4 i$

Paso 3

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 4

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 5

Sustituye los valores reales de $a = 33$ y $b = 4$ .

$| z | = \sqrt{4^{2} + 33^{2}}$

Paso 6

Obtén $| z |$ .

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Paso 6.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 33^{2}}$

Paso 6.2

Eleva $33$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 1089}$

Paso 6.3

Suma $16$ y $1089$ .

$| z | = \sqrt{1105}$

Paso 7

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{4}{33})$

Paso 8

Como la tangente inversa de $\frac{4}{33}$ produce un ángulo en el primer cuadrante, el valor del ángulo es $0.12062366$ .

$θ = 0.12062366$

Paso 9

Sustituye los valores de $θ = 0.12062366$ y $| z | = \sqrt{1105}$ .

$\sqrt{1105} (\cos (0.12062366) + i \sin (0.12062366))$