Trigonometría Ejemplos

$\sin (3 x)$

Step 1

Un buen método para expandir $\sin (3 x)$ es usar el teorema de DeMoivre $(r {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n} = r^{n} (\cos (n x) + i \cdot \sin (n x)))$ . Cuando $r = 1$ , $\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ .

$\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$

Step 2

Expande el lado derecho de $\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ con el teorema del binomio.

Expandir ${(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{3}$

Step 3

Usa el teorema del binomio.

$\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) (i \sin (x)) + 3 \cos (x) {(i \sin (x))}^{2} + {(i \sin (x))}^{3}$

Step 4

Simplifica los términos.

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Simplifica cada término.

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Aplica la regla del producto a $i \sin (x)$ .

$\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) i \sin (x) + 3 \cos (x) (i^{2} \sin^{2} (x)) + {(i \sin (x))}^{3}$

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) i \sin (x) + 3 \cos (x) (- 1 \sin^{2} (x)) + {(i \sin (x))}^{3}$

Reescribe $- 1 \sin^{2} (x)$ como $- \sin^{2} (x)$ .

$\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) i \sin (x) + 3 \cos (x) (- \sin^{2} (x)) + {(i \sin (x))}^{3}$

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) i \sin (x) - 3 \cos (x) \sin^{2} (x) + {(i \sin (x))}^{3}$

Aplica la regla del producto a $i \sin (x)$ .

$\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) i \sin (x) - 3 \cos (x) \sin^{2} (x) + i^{3} \sin^{3} (x)$

Factoriza $i^{2}$ .

$\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) i \sin (x) - 3 \cos (x) \sin^{2} (x) + i^{2} \cdot i \sin^{3} (x)$

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) i \sin (x) - 3 \cos (x) \sin^{2} (x) - 1 \cdot i \sin^{3} (x)$

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) i \sin (x) - 3 \cos (x) \sin^{2} (x) - i \sin^{3} (x)$

Reordena los factores en $\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) i \sin (x) - 3 \cos (x) \sin^{2} (x) - i \sin^{3} (x)$ .

$\cos^{3} (x) + 3 i \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \cos (x) \sin^{2} (x) - i \sin^{3} (x)$

Step 5

Saca las expresiones con la parte imaginaria, que son equivalentes a $\sin (3 x)$ . Elimina el número imaginario $i$ .

$\sin (3 x) = 3 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)$