Trigonometría Ejemplos

$\sec^{2} (x)$

Step 1

Intercambia las variables.

$x = \sec^{2} (y)$

Step 2

Resuelve $y$

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Reescribe la ecuación como $\sec^{2} (y) = x$ .

$\sec^{2} (y) = x$

Calcula la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sec (y) = \pm \sqrt{x}$

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\sec (y) = \sqrt{x}$

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\sec (y) = - \sqrt{x}$

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\sec (y) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}$

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $y$ .

$\sec (y) = \sqrt{x}$

$\sec (y) = - \sqrt{x}$

Resuelve $y$ en $\sec (y) = \sqrt{x}$ .

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Calcula la inversa de la secante de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de la secante.

$y = arcsec (\sqrt{x})$

Resuelve $y$ en $\sec (y) = - \sqrt{x}$ .

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Calcula la inversa de la secante de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de la secante.

$y = arcsec (- \sqrt{x})$

Enumera todas las soluciones.

$y = arcsec (\sqrt{x})$

$y = arcsec (- \sqrt{x})$

$y = arcsec (\sqrt{x})$

$y = arcsec (- \sqrt{x})$

Step 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{x}), arcsec (- \sqrt{x})$

Step 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{x}), arcsec (- \sqrt{x})$ es la inversa de $f (x) = \sec^{2} (x)$ .

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El dominio de la inversa es el rango de la función original y viceversa. Obtén el dominio y el rango de $f (x) = \sec^{2} (x)$ y $f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{x}), arcsec (- \sqrt{x})$ y compáralos.

Obtén el rango de $f (x) = \sec^{2} (x)$ .

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El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$[1, \infty)$

Obtén el dominio de $arcsec (\sqrt{x})$ .

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Establece el radicando en $\sqrt{x}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x \geq 0$

Establece el argumento en $arcsec (\sqrt{x})$ menor o igual que $- 1$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$\sqrt{x} \leq - 1$

Resuelve $x$

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Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

${\sqrt{x}}^{2} \leq {(- 1)}^{2}$

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(- 1)}^{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Simplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(- 1)}^{2}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(- 1)}^{2}$

Reescribe la expresión.

$x^{1} \leq {(- 1)}^{2}$

Simplifica.

$x \leq {(- 1)}^{2}$

Simplifica el lado derecho.

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Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x \leq 1$

Obtén el dominio de $\sqrt{x} + 1$ .

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Establece el radicando en $\sqrt{x}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x \geq 0$

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[0, \infty)$

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$\sqrt{- 2} \leq - 1$

El lado izquierdo no es igual al lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Elije un valor en el intervalo $0 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0.5$

Reemplaza $x$ con $0.5$ en la desigualdad original.

$\sqrt{0.5} \leq - 1$

$0.70710678$ del lado izquierdo es mayor que $- 1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Prueba un valor en el intervalo $x > 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Elije un valor en el intervalo $x > 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\sqrt{4} \leq - 1$

$2$ del lado izquierdo es mayor que $- 1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Falso

Como no hay números que estén dentro del intervalo, esta desigualdad no tiene solución.

No hay solución

Establece el argumento en $arcsec (\sqrt{x})$ mayor o igual que $1$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$\sqrt{x} \geq 1$

Resuelve $x$

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Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

${\sqrt{x}}^{2} \geq 1^{2}$

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 1^{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Simplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 1^{2}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 1^{2}$

Reescribe la expresión.

$x^{1} \geq 1^{2}$

Simplifica.

$x \geq 1^{2}$

Simplifica el lado derecho.

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Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x \geq 1$

Obtén el dominio de $\sqrt{x} - 1$ .

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Establece el radicando en $\sqrt{x}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x \geq 0$

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[0, \infty)$

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \geq 1$

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[0, \infty)$

Como el dominio de $f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{x}), arcsec (- \sqrt{x})$ no es igual al rango de $f (x) = \sec^{2} (x)$ , entonces $f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{x}), arcsec (- \sqrt{x})$ no es una inversa de $f (x) = \sec^{2} (x)$ .

No hay una inversa

Step 5