Trigonometría Ejemplos

${(1 - i)}^{5}$

Paso 1

Usa el teorema del binomio.

$1^{5} + 5 \cdot 1^{4} (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 + 5 \cdot 1^{4} (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Paso 2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 + 5 \cdot 1 (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Paso 2.1.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$1 + 5 (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Paso 2.1.4

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$1 - 5 i + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Paso 2.1.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 - 5 i + 10 \cdot 1 {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Paso 2.1.6

Multiplica $10$ por $1$ .

$1 - 5 i + 10 {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Paso 2.1.7

Aplica la regla del producto a $- i$ .

$1 - 5 i + 10 ({(- 1)}^{2} i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Paso 2.1.8

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 - 5 i + 10 (1 i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Paso 2.1.9

Multiplica $i^{2}$ por $1$ .

$1 - 5 i + 10 i^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Paso 2.1.10

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 - 5 i + 10 \cdot - 1 + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Paso 2.1.11

Multiplica $10$ por $- 1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Paso 2.1.12

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 - 5 i - 10 + 10 \cdot 1 {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Paso 2.1.13

Multiplica $10$ por $1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Paso 2.1.14

Aplica la regla del producto a $- i$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 ({(- 1)}^{3} i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Paso 2.1.15

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 (- i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Paso 2.1.16

Factoriza $i^{2}$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 (- (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Paso 2.1.17

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 (- (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Paso 2.1.18

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 (- - i) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Paso 2.1.19

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 (1 i) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Paso 2.1.20

Multiplica $i$ por $1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Paso 2.1.21

Multiplica $5$ por $1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Paso 2.1.22

Aplica la regla del producto a $- i$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 ({(- 1)}^{4} i^{4}) + {(- i)}^{5}$

Paso 2.1.23

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 (1 i^{4}) + {(- i)}^{5}$

Paso 2.1.24

Multiplica $i^{4}$ por $1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 i^{4} + {(- i)}^{5}$

Paso 2.1.25

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 2.1.25.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 {(i^{2})}^{2} + {(- i)}^{5}$

Paso 2.1.25.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 {(- 1)}^{2} + {(- i)}^{5}$

Paso 2.1.25.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 \cdot 1 + {(- i)}^{5}$

Paso 2.1.26

Multiplica $5$ por $1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 + {(- i)}^{5}$

Paso 2.1.27

Aplica la regla del producto a $- i$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 + {(- 1)}^{5} i^{5}$

Paso 2.1.28

Eleva $- 1$ a la potencia de $5$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - i^{5}$

Paso 2.1.29

Factoriza $i^{4}$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - (i^{4} i)$

Paso 2.1.30

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 2.1.30.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - ({(i^{2})}^{2} i)$

Paso 2.1.30.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - ({(- 1)}^{2} i)$

Paso 2.1.30.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - (1 i)$

Paso 2.1.31

Multiplica $i$ por $1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - i$

Paso 2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.2.1

Resta $10$ de $1$ .

$- 9 - 5 i + 10 i + 5 - i$

Paso 2.2.2

Suma $- 9$ y $5$ .

$- 4 - 5 i + 10 i - i$

Paso 2.2.3

Suma $- 5 i$ y $10 i$ .

$- 4 + 5 i - i$

Paso 2.2.4

Resta $i$ de $5 i$ .

$- 4 + 4 i$

Paso 3

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 4

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 5

Sustituye los valores reales de $a = - 4$ y $b = 4$ .

$| z | = \sqrt{4^{2} + {(- 4)}^{2}}$

Paso 6

Obtén $| z |$ .

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Paso 6.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + {(- 4)}^{2}}$

Paso 6.2

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16}$

Paso 6.3

Suma $16$ y $16$ .

$| z | = \sqrt{32}$

Paso 6.4

Reescribe $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

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Paso 6.4.1

Factoriza $16$ de $32$ .

$| z | = \sqrt{16 (2)}$

Paso 6.4.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$| z | = \sqrt{4^{2} \cdot 2}$

Paso 6.5

Retira los términos de abajo del radical.

$| z | = 4 \sqrt{2}$

Paso 7

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{4}{- 4})$

Paso 8

Como la tangente inversa de $\frac{4}{- 4}$ produce un ángulo en el segundo cuadrante, el valor del ángulo es $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Paso 9

Sustituye los valores de $θ = \frac{3 π}{4}$ y $| z | = 4 \sqrt{2}$ .

$4 \sqrt{2} (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))$