Trigonometría Ejemplos

${(2 - 2 i)}^{5}$

Paso 1

Usa el teorema del binomio.

$2^{5} + 5 \cdot 2^{4} (- 2 i) + 10 \cdot 2^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$32 + 5 \cdot 2^{4} (- 2 i) + 10 \cdot 2^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Paso 2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$32 + 5 \cdot 16 (- 2 i) + 10 \cdot 2^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Paso 2.1.3

Multiplica $5$ por $16$ .

$32 + 80 (- 2 i) + 10 \cdot 2^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Paso 2.1.4

Multiplica $- 2$ por $80$ .

$32 - 160 i + 10 \cdot 2^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Paso 2.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$32 - 160 i + 10 \cdot 8 {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Paso 2.1.6

Multiplica $10$ por $8$ .

$32 - 160 i + 80 {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Paso 2.1.7

Aplica la regla del producto a $- 2 i$ .

$32 - 160 i + 80 ({(- 2)}^{2} i^{2}) + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Paso 2.1.8

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$32 - 160 i + 80 (4 i^{2}) + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Paso 2.1.9

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$32 - 160 i + 80 (4 \cdot - 1) + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Paso 2.1.10

Multiplica $80 (4 \cdot - 1)$ .

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Paso 2.1.10.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$32 - 160 i + 80 \cdot - 4 + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Paso 2.1.10.2

Multiplica $80$ por $- 4$ .

$32 - 160 i - 320 + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Paso 2.1.11

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$32 - 160 i - 320 + 10 \cdot 4 {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Paso 2.1.12

Multiplica $10$ por $4$ .

$32 - 160 i - 320 + 40 {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Paso 2.1.13

Aplica la regla del producto a $- 2 i$ .

$32 - 160 i - 320 + 40 ({(- 2)}^{3} i^{3}) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Paso 2.1.14

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$32 - 160 i - 320 + 40 (- 8 i^{3}) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Paso 2.1.15

Factoriza $i^{2}$ .

$32 - 160 i - 320 + 40 (- 8 (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Paso 2.1.16

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$32 - 160 i - 320 + 40 (- 8 (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Paso 2.1.17

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$32 - 160 i - 320 + 40 (- 8 (- i)) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Paso 2.1.18

Multiplica $- 1$ por $- 8$ .

$32 - 160 i - 320 + 40 (8 i) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Paso 2.1.19

Multiplica $8$ por $40$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Paso 2.1.20

Multiplica $5$ por $2$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Paso 2.1.21

Aplica la regla del producto a $- 2 i$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 ({(- 2)}^{4} i^{4}) + {(- 2 i)}^{5}$

Paso 2.1.22

Eleva $- 2$ a la potencia de $4$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 (16 i^{4}) + {(- 2 i)}^{5}$

Paso 2.1.23

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 2.1.23.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 (16 {(i^{2})}^{2}) + {(- 2 i)}^{5}$

Paso 2.1.23.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 (16 {(- 1)}^{2}) + {(- 2 i)}^{5}$

Paso 2.1.23.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 (16 \cdot 1) + {(- 2 i)}^{5}$

Paso 2.1.24

Multiplica $10 (16 \cdot 1)$ .

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Paso 2.1.24.1

Multiplica $16$ por $1$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 \cdot 16 + {(- 2 i)}^{5}$

Paso 2.1.24.2

Multiplica $10$ por $16$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 + {(- 2 i)}^{5}$

Paso 2.1.25

Aplica la regla del producto a $- 2 i$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 + {(- 2)}^{5} i^{5}$

Paso 2.1.26

Eleva $- 2$ a la potencia de $5$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 i^{5}$

Paso 2.1.27

Factoriza $i^{4}$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 (i^{4} i)$

Paso 2.1.28

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 2.1.28.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 ({(i^{2})}^{2} i)$

Paso 2.1.28.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 ({(- 1)}^{2} i)$

Paso 2.1.28.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 (1 i)$

Paso 2.1.29

Multiplica $i$ por $1$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 i$

Paso 2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.2.1

Resta $320$ de $32$ .

$- 288 - 160 i + 320 i + 160 - 32 i$

Paso 2.2.2

Suma $- 288$ y $160$ .

$- 128 - 160 i + 320 i - 32 i$

Paso 2.2.3

Suma $- 160 i$ y $320 i$ .

$- 128 + 160 i - 32 i$

Paso 2.2.4

Resta $32 i$ de $160 i$ .

$- 128 + 128 i$

Paso 3

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 4

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 5

Sustituye los valores reales de $a = - 128$ y $b = 128$ .

$| z | = \sqrt{128^{2} + {(- 128)}^{2}}$

Paso 6

Obtén $| z |$ .

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Paso 6.1

Eleva $128$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{16384 + {(- 128)}^{2}}$

Paso 6.2

Eleva $- 128$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{16384 + 16384}$

Paso 6.3

Suma $16384$ y $16384$ .

$| z | = \sqrt{32768}$

Paso 6.4

Reescribe $32768$ como $128^{2} \cdot 2$ .

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Paso 6.4.1

Factoriza $16384$ de $32768$ .

$| z | = \sqrt{16384 (2)}$

Paso 6.4.2

Reescribe $16384$ como $128^{2}$ .

$| z | = \sqrt{128^{2} \cdot 2}$

Paso 6.5

Retira los términos de abajo del radical.

$| z | = 128 \sqrt{2}$

Paso 7

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{128}{- 128})$

Paso 8

Como la tangente inversa de $\frac{128}{- 128}$ produce un ángulo en el segundo cuadrante, el valor del ángulo es $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Paso 9

Sustituye los valores de $θ = \frac{3 π}{4}$ y $| z | = 128 \sqrt{2}$ .

$128 \sqrt{2} (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))$