Trigonometría Ejemplos

${(4 + 4 i)}^{7}$

Paso 1

Usa el teorema del binomio.

$4^{7} + 7 \cdot 4^{6} (4 i) + 21 \cdot 4^{5} {(4 i)}^{2} + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $7$ .

$16384 + 7 \cdot 4^{6} (4 i) + 21 \cdot 4^{5} {(4 i)}^{2} + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Paso 2.1.2

Multiplica $4^{6}$ por $4$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.2.1

Mueve $4$ .

$16384 + 7 \cdot (4 \cdot 4^{6}) i + 21 \cdot 4^{5} {(4 i)}^{2} + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Paso 2.1.2.2

Multiplica $4$ por $4^{6}$ .

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Paso 2.1.2.2.1

Eleva $4$ a la potencia de $1$ .

$16384 + 7 \cdot (4^{1} \cdot 4^{6}) i + 21 \cdot 4^{5} {(4 i)}^{2} + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Paso 2.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$16384 + 7 \cdot 4^{1 + 6} i + 21 \cdot 4^{5} {(4 i)}^{2} + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Paso 2.1.2.3

Suma $1$ y $6$ .

$16384 + 7 \cdot 4^{7} i + 21 \cdot 4^{5} {(4 i)}^{2} + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Paso 2.1.3

Eleva $4$ a la potencia de $7$ .

$16384 + 7 \cdot 16384 i + 21 \cdot 4^{5} {(4 i)}^{2} + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Paso 2.1.4

Multiplica $7$ por $16384$ .

$16384 + 114688 i + 21 \cdot 4^{5} {(4 i)}^{2} + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Paso 2.1.5

Eleva $4$ a la potencia de $5$ .

$16384 + 114688 i + 21 \cdot 1024 {(4 i)}^{2} + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Paso 2.1.6

Multiplica $21$ por $1024$ .

$16384 + 114688 i + 21504 {(4 i)}^{2} + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Paso 2.1.7

Aplica la regla del producto a $4 i$ .

$16384 + 114688 i + 21504 (4^{2} i^{2}) + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Paso 2.1.8

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$16384 + 114688 i + 21504 (16 i^{2}) + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Paso 2.1.9

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$16384 + 114688 i + 21504 (16 \cdot - 1) + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Paso 2.1.10

Multiplica $21504 (16 \cdot - 1)$ .

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Paso 2.1.10.1

Multiplica $16$ por $- 1$ .

$16384 + 114688 i + 21504 \cdot - 16 + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Paso 2.1.10.2

Multiplica $21504$ por $- 16$ .

$16384 + 114688 i - 344064 + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Paso 2.1.11

Eleva $4$ a la potencia de $4$ .

$16384 + 114688 i - 344064 + 35 \cdot 256 {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Paso 2.1.12

Multiplica $35$ por $256$ .

$16384 + 114688 i - 344064 + 8960 {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Paso 2.1.13

Aplica la regla del producto a $4 i$ .

$16384 + 114688 i - 344064 + 8960 (4^{3} i^{3}) + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Paso 2.1.14

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$16384 + 114688 i - 344064 + 8960 (64 i^{3}) + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Paso 2.1.15

Factoriza $i^{2}$ .

$16384 + 114688 i - 344064 + 8960 (64 (i^{2} \cdot i)) + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Paso 2.1.16

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$16384 + 114688 i - 344064 + 8960 (64 (- 1 \cdot i)) + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Paso 2.1.17

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$16384 + 114688 i - 344064 + 8960 (64 (- i)) + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Paso 2.1.18

Multiplica $- 1$ por $64$ .

$16384 + 114688 i - 344064 + 8960 (- 64 i) + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Paso 2.1.19

Multiplica $- 64$ por $8960$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Paso 2.1.20

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 35 \cdot 64 {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Paso 2.1.21

Multiplica $35$ por $64$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 2240 {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Paso 2.1.22

Aplica la regla del producto a $4 i$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 2240 (4^{4} i^{4}) + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Paso 2.1.23

Eleva $4$ a la potencia de $4$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 2240 (256 i^{4}) + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Paso 2.1.24

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 2.1.24.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 2240 (256 {(i^{2})}^{2}) + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Paso 2.1.24.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 2240 (256 {(- 1)}^{2}) + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Paso 2.1.24.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 2240 (256 \cdot 1) + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Paso 2.1.25

Multiplica $2240 (256 \cdot 1)$ .

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Paso 2.1.25.1

Multiplica $256$ por $1$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 2240 \cdot 256 + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Paso 2.1.25.2

Multiplica $2240$ por $256$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Paso 2.1.26

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 21 \cdot 16 {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Paso 2.1.27

Multiplica $21$ por $16$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 336 {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Paso 2.1.28

Aplica la regla del producto a $4 i$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 336 (4^{5} i^{5}) + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Paso 2.1.29

Eleva $4$ a la potencia de $5$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 336 (1024 i^{5}) + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Paso 2.1.30

Factoriza $i^{4}$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 336 (1024 (i^{4} i)) + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Paso 2.1.31

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 2.1.31.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 336 (1024 ({(i^{2})}^{2} i)) + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Paso 2.1.31.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 336 (1024 ({(- 1)}^{2} i)) + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Paso 2.1.31.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 336 (1024 (1 i)) + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Paso 2.1.32

Multiplica $i$ por $1$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 336 (1024 i) + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Paso 2.1.33

Multiplica $1024$ por $336$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Paso 2.1.34

Multiplica $7$ por $4$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i + 28 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Paso 2.1.35

Aplica la regla del producto a $4 i$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i + 28 (4^{6} i^{6}) + {(4 i)}^{7}$

Paso 2.1.36

Eleva $4$ a la potencia de $6$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i + 28 (4096 i^{6}) + {(4 i)}^{7}$

Paso 2.1.37

Factoriza $i^{4}$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i + 28 (4096 (i^{4} i^{2})) + {(4 i)}^{7}$

Paso 2.1.38

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 2.1.38.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i + 28 (4096 ({(i^{2})}^{2} i^{2})) + {(4 i)}^{7}$

Paso 2.1.38.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i + 28 (4096 ({(- 1)}^{2} i^{2})) + {(4 i)}^{7}$

Paso 2.1.38.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i + 28 (4096 (1 i^{2})) + {(4 i)}^{7}$

Paso 2.1.39

Multiplica $i^{2}$ por $1$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i + 28 (4096 i^{2}) + {(4 i)}^{7}$

Paso 2.1.40

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i + 28 (4096 \cdot - 1) + {(4 i)}^{7}$

Paso 2.1.41

Multiplica $28 (4096 \cdot - 1)$ .

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Paso 2.1.41.1

Multiplica $4096$ por $- 1$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i + 28 \cdot - 4096 + {(4 i)}^{7}$

Paso 2.1.41.2

Multiplica $28$ por $- 4096$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i - 114688 + {(4 i)}^{7}$

Paso 2.1.42

Aplica la regla del producto a $4 i$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i - 114688 + 4^{7} i^{7}$

Paso 2.1.43

Eleva $4$ a la potencia de $7$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i - 114688 + 16384 i^{7}$

Paso 2.1.44

Reescribe $i^{7}$ como $i^{4} (i^{2} \cdot i)$ .

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Paso 2.1.44.1

Factoriza $i^{4}$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i - 114688 + 16384 (i^{4} i^{3})$

Paso 2.1.44.2

Factoriza $i^{2}$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i - 114688 + 16384 (i^{4} (i^{2} \cdot i))$

Paso 2.1.45

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 2.1.45.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i - 114688 + 16384 ({(i^{2})}^{2} (i^{2} \cdot i))$

Paso 2.1.45.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i - 114688 + 16384 ({(- 1)}^{2} (i^{2} \cdot i))$

Paso 2.1.45.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i - 114688 + 16384 (1 (i^{2} \cdot i))$

Paso 2.1.46

Multiplica $i^{2} \cdot i$ por $1$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i - 114688 + 16384 (i^{2} \cdot i)$

Paso 2.1.47

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i - 114688 + 16384 (- 1 \cdot i)$

Paso 2.1.48

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i - 114688 + 16384 (- i)$

Paso 2.1.49

Multiplica $- 1$ por $16384$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i - 114688 - 16384 i$

Paso 2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.2.1

Resta $344064$ de $16384$ .

$- 327680 + 114688 i - 573440 i + 573440 + 344064 i - 114688 - 16384 i$

Paso 2.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.2.2.1

Suma $- 327680$ y $573440$ .

$245760 + 114688 i - 573440 i + 344064 i - 114688 - 16384 i$

Paso 2.2.2.2

Resta $114688$ de $245760$ .

$131072 + 114688 i - 573440 i + 344064 i - 16384 i$

Paso 2.2.3

Resta $573440 i$ de $114688 i$ .

$131072 - 458752 i + 344064 i - 16384 i$

Paso 2.2.4

Suma $- 458752 i$ y $344064 i$ .

$131072 - 114688 i - 16384 i$

Paso 2.2.5

Resta $16384 i$ de $- 114688 i$ .

$131072 - 131072 i$

Paso 3

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 4

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 5

Sustituye los valores reales de $a = 131072$ y $b = - 131072$ .

$| z | = \sqrt{{(- 131072)}^{2} + 131072^{2}}$

Paso 6

Obtén $| z |$ .

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Paso 6.1

Eleva $- 131072$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{17179869184 + 131072^{2}}$

Paso 6.2

Eleva $131072$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{17179869184 + 17179869184}$

Paso 6.3

Suma $17179869184$ y $17179869184$ .

$| z | = \sqrt{34359738368}$

Paso 6.4

Reescribe $34359738368$ como $131072^{2} \cdot 2$ .

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Paso 6.4.1

Factoriza $17179869184$ de $34359738368$ .

$| z | = \sqrt{17179869184 (2)}$

Paso 6.4.2

Reescribe $17179869184$ como $131072^{2}$ .

$| z | = \sqrt{131072^{2} \cdot 2}$

Paso 6.5

Retira los términos de abajo del radical.

$| z | = 131072 \sqrt{2}$

Paso 7

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{- 131072}{131072})$

Paso 8

Como la tangente inversa de $\frac{- 131072}{131072}$ produce un ángulo en el cuarto cuadrante, el valor del ángulo es $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Paso 9

Sustituye los valores de $θ = - \frac{π}{4}$ y $| z | = 131072 \sqrt{2}$ .

$131072 \sqrt{2} (\cos (- \frac{π}{4}) + i \sin (- \frac{π}{4}))$