Trigonometría Ejemplos

$\tan (15)$

Step 1

Para convertir grados a radianes, multiplica por $\frac{π}{180 °}$ , ya que un círculo completo es $360 °$ o $2 π$ radianes.

Step 2

El valor exacto de $\tan (15)$ es $2 - \sqrt{3}$ .

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Divide $15$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$\tan (45 - 30) \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Separa la negación.

$\tan (45 - (30)) \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Aplica la diferencia de la razón de los ángulos.

$\frac{\tan (45) - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (30)} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

El valor exacto de $\tan (45)$ es $1$ .

$\frac{1 - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (30)} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

El valor exacto de $\tan (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (30)} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

El valor exacto de $\tan (45)$ es $1$ .

$\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \tan (30)} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

El valor exacto de $\tan (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 (\frac{\sqrt{3}}{3})} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Simplifica $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ .

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Multiplica el numerador y el denominador de la fracción compleja por $3$ .

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Multiplica $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 (\frac{\sqrt{3}}{3})} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Combinar.

$\frac{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 (1 + 1 (\frac{\sqrt{3}}{3}))} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 \cdot 1 + 3 (1 (\frac{\sqrt{3}}{3}))} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Cancela el factor común de $3$ .

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Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ al numerador.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- \sqrt{3}}{3})}{3 \cdot 1 + 3 (1 (\frac{\sqrt{3}}{3}))} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- \sqrt{3}}{3})}{3 \cdot 1 + 3 (1 (\frac{\sqrt{3}}{3}))} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Reescribe la expresión.

$\frac{3 \cdot 1 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 (\frac{\sqrt{3}}{3}))} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 \cdot (1 (\frac{\sqrt{3}}{3}))} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Simplifica el denominador.

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Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot (1 (\frac{\sqrt{3}}{3}))} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Cancela el factor común de $3$ .

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Factoriza $3$ de $3 \cdot 1$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 (1) (\frac{\sqrt{3}}{3})} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Cancela el factor común.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot (1 (\frac{\sqrt{3}}{3}))} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Reescribe la expresión.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Multiplica $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ por $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Multiplica $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ por $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 - {\sqrt{3}}^{2}} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Simplifica.

$\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Simplifica el numerador.

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Eleva $3 - \sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Eleva $3 - \sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{2}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Reescribe ${(3 - \sqrt{3})}^{2}$ como $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ .

$\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Expande $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (3 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Simplifica y combina los términos similares.

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Simplifica cada término.

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Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{9 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Multiplica $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Multiplica $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Reescribe la expresión.

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Evalúa el exponente.

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Suma $9$ y $3$ .

$\frac{12 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Resta $3 \sqrt{3}$ de $- 3 \sqrt{3}$ .

$\frac{12 - 6 \sqrt{3}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Cancela el factor común de $12 - 6 \sqrt{3}$ y $6$ .

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Factoriza $6$ de $12$ .

$\frac{6 \cdot 2 - 6 \sqrt{3}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Factoriza $6$ de $- 6 \sqrt{3}$ .

$\frac{6 \cdot 2 + 6 (- \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Factoriza $6$ de $6 (2) + 6 (- \sqrt{3})$ .

$\frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Cancela los factores comunes.

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Factoriza $6$ de $6$ .

$\frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 (1)} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Cancela el factor común.

$\frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 \cdot 1} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Reescribe la expresión.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{1} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Divide $2 - \sqrt{3}$ por $1$ .

$(2 - \sqrt{3}) \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Step 3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (\frac{π}{180}) - \sqrt{3} \frac{π}{180}$ radianes

Step 4

Cancela el factor común de $2$ .

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Factoriza $2$ de $180$ .

$2 (\frac{π}{2 (90)}) - \sqrt{3} \frac{π}{180}$ radianes

Cancela el factor común.

$2 (\frac{π}{2 \cdot 90}) - \sqrt{3} \frac{π}{180}$ radianes

Reescribe la expresión.

$\frac{π}{90} - \sqrt{3} \frac{π}{180}$ radianes

Step 5

Combina $\frac{π}{180}$ y $\sqrt{3}$ .

$\frac{π}{90} - \frac{π \sqrt{3}}{180}$ radianes