Trigonometría Ejemplos

$\tan (- 105)$

Step 1

Primero, divide el ángulo en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas. En este caso, $- 105$ se puede dividir en $45 - 150$ .

$\tan (45 - 150)$

Step 2

Usa la fórmula de diferencia para la tangente para simplificar la expresión. La fórmula establece que $\tan (A - B) = \frac{\tan (A) - \tan (B)}{1 + \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{\tan (45) - \tan (150)}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

Step 3

Elimina los paréntesis.

$\frac{\tan (45) - \tan (150)}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

Step 4

Simplifica el numerador.

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El valor exacto de $\tan (45)$ es $1$ .

$\frac{1 - \tan (150)}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque la tangente es negativa en el segundo cuadrante.

$\frac{1 - - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

El valor exacto de $\tan (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

Multiplica $- - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{3}$ por $1$ .

$\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{\frac{3}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

Step 5

Simplifica el denominador.

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El valor exacto de $\tan (45)$ es $1$ .

$\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \tan (150)}$

Multiplica $\tan (150)$ por $1$ .

$\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (150)}$

$\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 - \tan (30)}$

El valor exacto de $\tan (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{\frac{3}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}$

Step 6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3 - \sqrt{3}}$

Step 7

Cancela el factor común de $3$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3 - \sqrt{3}}$

Reescribe la expresión.

$(3 + \sqrt{3}) \frac{1}{3 - \sqrt{3}}$

Step 8

Multiplica $\frac{1}{3 - \sqrt{3}}$ por $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$(3 + \sqrt{3}) (\frac{1}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}})$

Step 9

Simplifica los términos.

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Multiplica $\frac{1}{3 - \sqrt{3}}$ por $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$(3 + \sqrt{3}) \frac{3 + \sqrt{3}}{(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}$

Expande el denominador con el método PEIU.

$(3 + \sqrt{3}) \frac{3 + \sqrt{3}}{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Simplifica.

$(3 + \sqrt{3}) \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

Aplica la propiedad distributiva.

$3 \frac{3 + \sqrt{3}}{6} + \sqrt{3} \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

Cancela el factor común de $3$ .

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Factoriza $3$ de $6$ .

$3 \frac{3 + \sqrt{3}}{3 (2)} + \sqrt{3} \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

Cancela el factor común.

$3 \frac{3 + \sqrt{3}}{3 \cdot 2} + \sqrt{3} \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

Reescribe la expresión.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

Combina $\sqrt{3}$ y $\frac{3 + \sqrt{3}}{6}$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6}$

Step 10

Simplifica cada término.

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Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Mueve $3$ a la izquierda de $\sqrt{3}$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{6}$

Simplifica cada término.

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Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{6}$

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{6}$

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \sqrt{3} + 3}{6}$

Cancela el factor común de $3 \sqrt{3} + 3$ y $6$ .

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Factoriza $3$ de $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3}) + 3}{6}$

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3}) + 3 (1)}{6}$

Factoriza $3$ de $3 (\sqrt{3}) + 3 (1)$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{6}$

Cancela los factores comunes.

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Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{3 (2)}$

Cancela el factor común.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{3 \cdot 2}$

Reescribe la expresión.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$

Step 11

Simplifica los términos.

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Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 1}{2}$

Suma $3$ y $1$ .

$\frac{4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{2}$

Suma $\sqrt{3}$ y $\sqrt{3}$ .

$\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{2}$

Cancela el factor común de $4 + 2 \sqrt{3}$ y $2$ .

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Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3}}{2}$

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2 + 2 (\sqrt{3})}{2}$

Factoriza $2$ de $2 (2) + 2 (\sqrt{3})$ .

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2}$

Cancela los factores comunes.

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Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 (1)}$

Cancela el factor común.

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Reescribe la expresión.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{1}$

Divide $2 + \sqrt{3}$ por $1$ .

$2 + \sqrt{3}$

Step 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$2 + \sqrt{3}$

Forma decimal:

$3.73205080 \dots$