Trigonometría Ejemplos

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} - \frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} = 4 \tan (x) \sec (x)$

Step 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} - \frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Step 2

Resta de fracciones.

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Para escribir $\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} - \frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Para escribir $- \frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} - \frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$

Escribe cada expresión con un denominador común de $(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Multiplica $\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ por $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))} - \frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$

Multiplica $\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ por $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))} - \frac{(1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Reordena los factores de $(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} - \frac{(1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)) - (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Step 3

Simplifica el numerador.

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Simplifica cada término.

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Expande $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 (1 + \sin (x)) + \sin (x) (1 + \sin (x)) - (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) (1 + \sin (x)) - (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) - (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Simplifica y combina los términos similares.

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Simplifica cada término.

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Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) - (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{1 + \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) - (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x) - (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Multiplica $\sin (x) \sin (x)$ .

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Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1} \sin (x) - (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1} - (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} - (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{2} - (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Suma $\sin (x)$ y $\sin (x)$ .

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} - (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} + (- 1 \cdot 1 - - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} + (- 1 - - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Multiplica $- - \sin (x)$ .

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Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} + (- 1 + 1 \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} + (- 1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Expande $(- 1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} - 1 (1 - \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} - 1 \cdot 1 - 1 (- \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} - 1 \cdot 1 - 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Simplifica y combina los términos similares.

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Simplifica cada término.

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Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} - 1 - 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Multiplica $- 1 (- \sin (x))$ .

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Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} - 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} - 1 + \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} - 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Multiplica $\sin (x) (- \sin (x))$ .

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Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} - 1 + \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} - 1 + \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1})}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} - 1 + \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} - 1 + \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{2}}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Suma $\sin (x)$ y $\sin (x)$ .

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} - 1 + 2 \sin (x) - {\sin (x)}^{2}}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} + 0 + 2 \sin (x) - {\sin (x)}^{2}}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Suma $2 \sin (x)$ y $0$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} + 2 \sin (x) + 2 \sin (x) - {\sin (x)}^{2}}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Resta ${\sin (x)}^{2}$ de ${\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{2 \sin (x) + 2 \sin (x) + 0}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Suma $2 \sin (x)$ y $2 \sin (x)$ .

$\frac{4 \sin (x) + 0}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Suma $4 \sin (x)$ y $0$ .

$\frac{4 \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Step 4

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Expande $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 \sin (x)}{1 (1 - \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x))}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 \sin (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x))}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 \sin (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x))}$

Simplifica y combina los términos similares.

$\frac{4 \sin (x)}{1 - \sin^{2} (x)}$

Step 5

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Step 6

Reescribe $\frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$ como $4 \tan (x) \sec (x)$ .

$4 \tan (x) \sec (x)$

Step 7

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} - \frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} = 4 \tan (x) \sec (x)$ es una identidad