Trigonometría Ejemplos

$\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{6}) = - 1$

Step 1

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{6} = \arctan (- 1)$

Step 2

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arctan (- 1)$ es $- \frac{π}{4}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{6} = - \frac{π}{4}$

Step 3

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Resta $\frac{π}{6}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{4} - \frac{π}{6}$

Para escribir $- \frac{π}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{6}$

Para escribir $- \frac{π}{6}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2}$

Escribe cada expresión con un denominador común de $12$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Multiplica $\frac{π}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2}$

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π \cdot 3}{12} - \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2}$

Multiplica $\frac{π}{6}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π \cdot 3}{12} - \frac{π \cdot 2}{6 \cdot 2}$

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π \cdot 3}{12} - \frac{π \cdot 2}{12}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x}{2} = \frac{- π \cdot 3 - π \cdot 2}{12}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{x}{2} = \frac{- 3 π - π \cdot 2}{12}$

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{x}{2} = \frac{- 3 π - 2 π}{12}$

Resta $2 π$ de $- 3 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{- 5 π}{12}$

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{x}{2} = - \frac{5 π}{12}$

Step 4

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{5 π}{12})$

Step 5

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{5 π}{12})$

Reescribe la expresión.

$x = 2 (- \frac{5 π}{12})$

Simplifica el lado derecho.

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Simplifica $2 (- \frac{5 π}{12})$ .

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Cancela el factor común de $2$ .

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Mueve el signo menos inicial en $- \frac{5 π}{12}$ al numerador.

$x = 2 \frac{- 5 π}{12}$

Factoriza $2$ de $12$ .

$x = 2 \frac{- 5 π}{2 (6)}$

Cancela el factor común.

$x = 2 \frac{- 5 π}{2 \cdot 6}$

Reescribe la expresión.

$x = \frac{- 5 π}{6}$

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{5 π}{6}$

Step 6

La función tangente es negativa en el segundo y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{6} = - \frac{π}{4} - π$

Step 7

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Suma $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{6} = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

El ángulo resultante de $\frac{3 π}{4}$ es positivo y coterminal con $- \frac{π}{4} - π$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{6} = \frac{3 π}{4}$

Resuelve $x$

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Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Resta $\frac{π}{6}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{4} - \frac{π}{6}$

Para escribir $\frac{3 π}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{6}$

Para escribir $- \frac{π}{6}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2}$

Escribe cada expresión con un denominador común de $12$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Multiplica $\frac{3 π}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2}$

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 3}{12} - \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2}$

Multiplica $\frac{π}{6}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 3}{12} - \frac{π \cdot 2}{6 \cdot 2}$

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 3}{12} - \frac{π \cdot 2}{12}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 3 - π \cdot 2}{12}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{x}{2} = \frac{9 π - π \cdot 2}{12}$

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{x}{2} = \frac{9 π - 2 π}{12}$

Resta $2 π$ de $9 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{7 π}{12}$

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{7 π}{12}$

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{7 π}{12}$

Reescribe la expresión.

$x = 2 \frac{7 π}{12}$

Simplifica el lado derecho.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Factoriza $2$ de $12$ .

$x = 2 \frac{7 π}{2 (6)}$

Cancela el factor común.

$x = 2 \frac{7 π}{2 \cdot 6}$

Reescribe la expresión.

$x = \frac{7 π}{6}$

Step 8

Obtén el período de $\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{6})$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $\frac{1}{2}$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| \frac{1}{2} |}$

$\frac{1}{2}$ es aproximadamente $0.5$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$π \cdot 2$

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$2 π$

Step 9

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Suma $2 π$ y $- \frac{5 π}{6}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{5 π}{6} + 2 π$

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{12 π - 5 π}{6}$

Resta $5 π$ de $12 π$ .

$\frac{7 π}{6}$

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{7 π}{6}$

Step 10

El período de la función $\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{6})$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 11

Consolida las respuestas.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$