Trigonometría Ejemplos

$(\tan (x) + 1) (\sec (x) - 1) = 0$

Step 1

Simplifica el lado izquierdo de la ecuación.

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Expande $(\tan (x) + 1) (\sec (x) - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$\tan (x) (\sec (x) - 1) + 1 (\sec (x) - 1) = 0$

Aplica la propiedad distributiva.

$\tan (x) \sec (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 (\sec (x) - 1) = 0$

Aplica la propiedad distributiva.

$\tan (x) \sec (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \sec (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Simplifica cada término.

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Mueve $- 1$ a la izquierda de $\tan (x)$ .

$\tan (x) \sec (x) - 1 \cdot \tan (x) + 1 \sec (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Reescribe $- 1 \tan (x)$ como $- \tan (x)$ .

$\tan (x) \sec (x) - \tan (x) + 1 \sec (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Multiplica $\sec (x)$ por $1$ .

$\tan (x) \sec (x) - \tan (x) + \sec (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\tan (x) \sec (x) - \tan (x) + \sec (x) - 1 = 0$

Step 2

Factoriza $\tan (x) \sec (x) - \tan (x) + \sec (x) - 1$ .

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Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\tan (x) \sec (x) - \tan (x) + \sec (x) - 1 = 0$

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\tan (x) (\sec (x) - 1) + 1 (\sec (x) - 1) = 0$

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $\sec (x) - 1$ .

$(\sec (x) - 1) (\tan (x) + 1) = 0$

Step 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\sec (x) - 1 = 0$

$\tan (x) + 1 = 0$

Step 4

Establece $\sec (x) - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $\sec (x) - 1$ igual a $0$ .

$\sec (x) - 1 = 0$

Resuelve $\sec (x) - 1 = 0$ en $x$ .

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Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\sec (x) = 1$

Calcula la inversa de la secante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la secante.

$x = arcsec (1)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $arcsec (1)$ es $0$ .

$x = 0$

La secante es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - 0$

Resta $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Obtén el período de $\sec (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\sec (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 5

Establece $\tan (x) + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $\tan (x) + 1$ igual a $0$ .

$\tan (x) + 1 = 0$

Resuelve $\tan (x) + 1 = 0$ en $x$ .

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Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\tan (x) = - 1$

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (- 1)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arctan (- 1)$ es $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

La función tangente es negativa en el segundo y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Suma $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

El ángulo resultante de $\frac{3 π}{4}$ es positivo y coterminal con $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Suma $π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Suma $π$ y $- \frac{π}{4}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{4} + π$

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Combina fracciones.

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Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Simplifica el numerador.

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Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Resta $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{3 π}{4}$

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(\sec (x) - 1) (\tan (x) + 1) = 0$ verdadera.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 7

Consolida $2 π n$ y $2 π + 2 π n$ en $2 π n$ .

$x = 2 π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$