Trigonometría Ejemplos

$5^{x - 1} = 3^{2 x + 1}$

Paso 1

Resta el logaritmo de ambos lados de la ecuación.

$\ln (5^{x - 1}) = \ln (3^{2 x + 1})$

Paso 2

Expande $\ln (5^{x - 1})$ ; para ello, mueve $x - 1$ fuera del logaritmo.

$(x - 1) \ln (5) = \ln (3^{2 x + 1})$

Paso 3

Expande $\ln (3^{2 x + 1})$ ; para ello, mueve $2 x + 1$ fuera del logaritmo.

$(x - 1) \ln (5) = (2 x + 1) \ln (3)$

Paso 4

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 4.1

Simplifica $(x - 1) \ln (5)$ .

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Paso 4.1.1

Reescribe.

$0 + 0 + (x - 1) \ln (5) = (2 x + 1) \ln (3)$

Paso 4.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$(x - 1) \ln (5) = (2 x + 1) \ln (3)$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x \ln (5) - 1 \ln (5) = (2 x + 1) \ln (3)$

Paso 4.1.4

Reescribe $- 1 \ln (5)$ como $- \ln (5)$ .

$x \ln (5) - \ln (5) = (2 x + 1) \ln (3)$

Paso 4.2

Simplifica $(2 x + 1) \ln (3)$ .

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Paso 4.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x \ln (5) - \ln (5) = 2 x \ln (3) + 1 \ln (3)$

Paso 4.2.2

Multiplica $\ln (3)$ por $1$ .

$x \ln (5) - \ln (5) = 2 x \ln (3) + \ln (3)$

Paso 4.3

Resta $2 x \ln (3)$ de ambos lados de la ecuación.

$x \ln (5) - \ln (5) - 2 x \ln (3) = \ln (3)$

Paso 4.4

Suma $\ln (5)$ a ambos lados de la ecuación.

$x \ln (5) - 2 x \ln (3) = \ln (3) + \ln (5)$

Paso 4.5

Factoriza $x$ de $x \ln (5) - 2 x \ln (3)$ .

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Paso 4.5.1

Factoriza $x$ de $x \ln (5)$ .

$x (\ln (5)) - 2 x \ln (3) = \ln (3) + \ln (5)$

Paso 4.5.2

Factoriza $x$ de $- 2 x \ln (3)$ .

$x (\ln (5)) + x (- 2 \ln (3)) = \ln (3) + \ln (5)$

Paso 4.5.3

Factoriza $x$ de $x (\ln (5)) + x (- 2 \ln (3))$ .

$x (\ln (5) - 2 \ln (3)) = \ln (3) + \ln (5)$

Paso 4.6

Divide cada término en $x (\ln (5) - 2 \ln (3)) = \ln (3) + \ln (5)$ por $\ln (5) - 2 \ln (3)$ y simplifica.

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Paso 4.6.1

Divide cada término en $x (\ln (5) - 2 \ln (3)) = \ln (3) + \ln (5)$ por $\ln (5) - 2 \ln (3)$ .

$\frac{x (\ln (5) - 2 \ln (3))}{\ln (5) - 2 \ln (3)} = \frac{\ln (3)}{\ln (5) - 2 \ln (3)} + \frac{\ln (5)}{\ln (5) - 2 \ln (3)}$

Paso 4.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.6.2.1

Cancela el factor común de $\ln (5) - 2 \ln (3)$ .

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Paso 4.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (\ln (5) - 2 \ln (3))}{\ln (5) - 2 \ln (3)} = \frac{\ln (3)}{\ln (5) - 2 \ln (3)} + \frac{\ln (5)}{\ln (5) - 2 \ln (3)}$

Paso 4.6.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (5) - 2 \ln (3)} + \frac{\ln (5)}{\ln (5) - 2 \ln (3)}$

Paso 4.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.6.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{\ln (3) + \ln (5)}{\ln (5) - 2 \ln (3)}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{\ln (3) + \ln (5)}{\ln (5) - 2 \ln (3)}$

Forma decimal:

$x = - 4.60719911 \dots$