Trigonometría Ejemplos

$\log_{5} (x + 1) - \log_{5} (x - 1) = \log_{5} (x)$

Step 1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \log_{5} (x)$

Step 2

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$\frac{x + 1}{x - 1} = x$

Step 3

Resuelve $x$

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Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x - 1, 1$

Elimina los paréntesis.

$x - 1, 1$

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x - 1$

Multiplica cada término en $\frac{x + 1}{x - 1} = x$ por $x - 1$ para eliminar las fracciones.

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Multiplica cada término en $\frac{x + 1}{x - 1} = x$ por $x - 1$ .

$\frac{x + 1}{x - 1} (x - 1) = x (x - 1)$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{x + 1}{x - 1} (x - 1) = x (x - 1)$

Reescribe la expresión.

$x + 1 = x (x - 1)$

Simplifica el lado derecho.

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Simplifica mediante la multiplicación.

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Aplica la propiedad distributiva.

$x + 1 = x \cdot x + x \cdot - 1$

Simplifica la expresión.

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Multiplica $x$ por $x$ .

$x + 1 = x^{2} + x \cdot - 1$

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$x + 1 = x^{2} - 1 \cdot x$

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$x + 1 = x^{2} - x$

Resuelve la ecuación.

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Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$x^{2} - x = x + 1$

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - x - x = 1$

Resta $x$ de $- x$ .

$x^{2} - 2 x = 1$

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 2 x - 1 = 0$

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 2$ y $c = - 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Simplifica.

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Simplifica el numerador.

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Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Suma $4$ y $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Factoriza $4$ de $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Simplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

Step 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\log_{5} (x + 1) - \log_{5} (x - 1) = \log_{5} (x)$ sea verdadera.

$x = 1 + \sqrt{2}$

Step 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = 1 + \sqrt{2}$

Forma decimal:

$x = 2.41421356 \dots$