Trigonometría Ejemplos

${(1 - \sqrt{3} i)}^{5}$

Paso 1

Usa el teorema del binomio.

$1^{5} + 5 \cdot 1^{4} (- \sqrt{3} i) + 10 \cdot 1^{3} {(- \sqrt{3} i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 + 5 \cdot 1^{4} (- \sqrt{3} i) + 10 \cdot 1^{3} {(- \sqrt{3} i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Paso 2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 + 5 \cdot 1 (- \sqrt{3} i) + 10 \cdot 1^{3} {(- \sqrt{3} i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Paso 2.1.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$1 + 5 (- \sqrt{3} i) + 10 \cdot 1^{3} {(- \sqrt{3} i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Paso 2.1.4

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$1 - 5 (\sqrt{3} i) + 10 \cdot 1^{3} {(- \sqrt{3} i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Paso 2.1.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 - 5 \sqrt{3} i + 10 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Paso 2.1.6

Multiplica $10$ por $1$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i + 10 {(- \sqrt{3} i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Paso 2.1.7

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 2.1.7.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{3} i$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i + 10 ({(- \sqrt{3})}^{2} i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Paso 2.1.7.2

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{3}$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i + 10 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Paso 2.1.8

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i + 10 (1 {\sqrt{3}}^{2} i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Paso 2.1.9

Multiplica ${\sqrt{3}}^{2}$ por $1$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i + 10 ({\sqrt{3}}^{2} i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Paso 2.1.10

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 2.1.10.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i + 10 ({(3^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Paso 2.1.10.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i + 10 (3^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Paso 2.1.10.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i + 10 (3^{\frac{2}{2}} i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Paso 2.1.10.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.10.4.1

Cancela el factor común.

$1 - 5 \sqrt{3} i + 10 (3^{\frac{2}{2}} i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Paso 2.1.10.4.2

Reescribe la expresión.

$1 - 5 \sqrt{3} i + 10 (3^{1} i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Paso 2.1.10.5

Evalúa el exponente.

$1 - 5 \sqrt{3} i + 10 (3 i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Paso 2.1.11

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i + 10 (3 \cdot - 1) + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Paso 2.1.12

Multiplica $10 (3 \cdot - 1)$ .

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Paso 2.1.12.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i + 10 \cdot - 3 + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Paso 2.1.12.2

Multiplica $10$ por $- 3$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Paso 2.1.13

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Paso 2.1.14

Multiplica $10$ por $1$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Paso 2.1.15

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 2.1.15.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{3} i$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 ({(- \sqrt{3})}^{3} i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Paso 2.1.15.2

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{3}$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3} i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Paso 2.1.16

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 (- {\sqrt{3}}^{3} i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Paso 2.1.17

Reescribe ${\sqrt{3}}^{3}$ como $\sqrt{3^{3}}$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 (- \sqrt{3^{3}} i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Paso 2.1.18

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 (- \sqrt{27} i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Paso 2.1.19

Reescribe $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.1.19.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 (- \sqrt{9 (3)} i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Paso 2.1.19.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 (- \sqrt{3^{2} \cdot 3} i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Paso 2.1.20

Retira los términos de abajo del radical.

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 (- (3 \sqrt{3}) i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Paso 2.1.21

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 (- 3 \sqrt{3} i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Paso 2.1.22

Factoriza $i^{2}$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 (- 3 \sqrt{3} (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Paso 2.1.23

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 (- 3 \sqrt{3} (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Paso 2.1.24

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 (- 3 \sqrt{3} (- i)) + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Paso 2.1.25

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 (3 \sqrt{3} i) + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Paso 2.1.26

Multiplica $3$ por $10$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 (\sqrt{3} i) + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Paso 2.1.27

Multiplica $5$ por $1$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Paso 2.1.28

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 2.1.28.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{3} i$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 ({(- \sqrt{3})}^{4} i^{4}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Paso 2.1.28.2

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{3}$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 ({(- 1)}^{4} {\sqrt{3}}^{4} i^{4}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Paso 2.1.29

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 (1 {\sqrt{3}}^{4} i^{4}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Paso 2.1.30

Multiplica ${\sqrt{3}}^{4}$ por $1$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 ({\sqrt{3}}^{4} i^{4}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Paso 2.1.31

Reescribe ${\sqrt{3}}^{4}$ como $3^{2}$ .

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Paso 2.1.31.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 ({(3^{\frac{1}{2}})}^{4} i^{4}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Paso 2.1.31.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 (3^{\frac{1}{2} \cdot 4} i^{4}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Paso 2.1.31.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 (3^{\frac{4}{2}} i^{4}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Paso 2.1.31.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 2.1.31.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 (3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} i^{4}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Paso 2.1.31.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.31.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 (3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} i^{4}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Paso 2.1.31.4.2.2

Cancela el factor común.

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 (3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} i^{4}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Paso 2.1.31.4.2.3

Reescribe la expresión.

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 (3^{\frac{2}{1}} i^{4}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Paso 2.1.31.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 (3^{2} i^{4}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Paso 2.1.32

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 (9 i^{4}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Paso 2.1.33

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 2.1.33.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 (9 {(i^{2})}^{2}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Paso 2.1.33.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 (9 {(- 1)}^{2}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Paso 2.1.33.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 (9 \cdot 1) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Paso 2.1.34

Multiplica $5 (9 \cdot 1)$ .

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Paso 2.1.34.1

Multiplica $9$ por $1$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 \cdot 9 + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Paso 2.1.34.2

Multiplica $5$ por $9$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Paso 2.1.35

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 2.1.35.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{3} i$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 + {(- \sqrt{3})}^{5} i^{5}$

Paso 2.1.35.2

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{3}$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 + {(- 1)}^{5} {\sqrt{3}}^{5} i^{5}$

Paso 2.1.36

Eleva $- 1$ a la potencia de $5$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 - {\sqrt{3}}^{5} i^{5}$

Paso 2.1.37

Reescribe ${\sqrt{3}}^{5}$ como $\sqrt{3^{5}}$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 - \sqrt{3^{5}} i^{5}$

Paso 2.1.38

Eleva $3$ a la potencia de $5$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 - \sqrt{243} i^{5}$

Paso 2.1.39

Reescribe $243$ como $9^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.1.39.1

Factoriza $81$ de $243$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 - \sqrt{81 (3)} i^{5}$

Paso 2.1.39.2

Reescribe $81$ como $9^{2}$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 - \sqrt{9^{2} \cdot 3} i^{5}$

Paso 2.1.40

Retira los términos de abajo del radical.

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 - (9 \sqrt{3}) i^{5}$

Paso 2.1.41

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 - 9 \sqrt{3} i^{5}$

Paso 2.1.42

Factoriza $i^{4}$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 - 9 \sqrt{3} (i^{4} i)$

Paso 2.1.43

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 2.1.43.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 - 9 \sqrt{3} ({(i^{2})}^{2} i)$

Paso 2.1.43.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 - 9 \sqrt{3} ({(- 1)}^{2} i)$

Paso 2.1.43.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 - 9 \sqrt{3} (1 i)$

Paso 2.1.44

Multiplica $i$ por $1$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 - 9 \sqrt{3} i$

Paso 2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.2.1

Resta $30$ de $1$ .

$- 5 \sqrt{3} i - 29 + 30 \sqrt{3} i + 45 - 9 \sqrt{3} i$

Paso 2.2.2

Suma $- 5 \sqrt{3} i$ y $30 \sqrt{3} i$ .

$25 \sqrt{3} i - 29 + 45 - 9 \sqrt{3} i$

Paso 2.2.3

Resta $9 \sqrt{3} i$ de $25 \sqrt{3} i$ .

$16 \sqrt{3} i - 29 + 45$

Paso 2.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.4.1

Suma $- 29$ y $45$ .

$16 \sqrt{3} i + 16$

Paso 2.2.4.2

Reordena $16 \sqrt{3} i$ y $16$ .

$16 + 16 \sqrt{3} i$