Trigonometría Ejemplos

$\sin (\frac{x}{2}) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Step 1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$\frac{x}{2} = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Step 2

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ es $- \frac{π}{3}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{3}$

Step 3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{3})$

Step 4

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{3})$

Reescribe la expresión.

$x = 2 (- \frac{π}{3})$

Simplifica el lado derecho.

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Simplifica $2 (- \frac{π}{3})$ .

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Multiplica $2 (- \frac{π}{3})$ .

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Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x = - 2 \frac{π}{3}$

Combina $- 2$ y $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{- 2 π}{3}$

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{2 π}{3}$

Step 5

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Step 6

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

El ángulo resultante de $\frac{4 π}{3}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{4 π}{3}$

Resuelve $x$

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Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{4 π}{3}$

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{4 π}{3}$

Reescribe la expresión.

$x = 2 \frac{4 π}{3}$

Simplifica el lado derecho.

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Multiplica $2 \frac{4 π}{3}$ .

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Combina $2$ y $\frac{4 π}{3}$ .

$x = \frac{2 (4 π)}{3}$

Multiplica $4$ por $2$ .

$x = \frac{8 π}{3}$

Step 7

Obtén el período de $\sin (\frac{x}{2})$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $\frac{1}{2}$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

$\frac{1}{2}$ es aproximadamente $0.5$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 π \cdot 2$

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 π$

Step 8

Suma $4 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Suma $4 π$ y $- \frac{2 π}{3}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{2 π}{3} + 4 π$

Para escribir $4 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$4 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Combina fracciones.

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Combina $4 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{12 π - 2 π}{3}$

Resta $2 π$ de $12 π$ .

$\frac{10 π}{3}$

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{10 π}{3}$

Step 9

El período de la función $\sin (\frac{x}{2})$ es $4 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $4 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{8 π}{3} + 4 π n, \frac{10 π}{3} + 4 π n$ , para cualquier número entero $n$