Trigonometría Ejemplos

$\tan^{2} (x) + \sec (x) - 1 = 0$

Step 1

Reemplaza $\tan^{2} (x)$ con $\sec^{2} (x) - 1$ según la identidad de $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(\sec^{2} (x) - 1) + \sec (x) - 1 = 0$

Step 2

Resta $1$ de $- 1$ .

$\sec^{2} (x) + \sec (x) - 2 = 0$

Step 3

Sustituye $u$ por $\sec (x)$ .

${(u)}^{2} + u - 2 = 0$

Step 4

Factoriza $u^{2} + u - 2$ con el método AC.

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Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $1$ .

$- 1, 2$

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 1) (u + 2) = 0$

Step 5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

$u + 2 = 0$

Step 6

Establece $u - 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Establece $u - 1$ igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 1$

Step 7

Establece $u + 2$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Establece $u + 2$ igual a $0$ .

$u + 2 = 0$

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 2$

Step 8

La solución final comprende todos los valores que hacen $(u - 1) (u + 2) = 0$ verdadera.

$u = 1, - 2$

Step 9

Sustituye $\sec (x)$ por $u$ .

$\sec (x) = 1, - 2$

Step 10

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\sec (x) = 1$

$\sec (x) = - 2$

Step 11

Resuelve $x$ en $\sec (x) = 1$ .

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Calcula la inversa de la secante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la secante.

$x = arcsec (1)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $arcsec (1)$ es $0$ .

$x = 0$

La secante es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - 0$

Resta $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Obtén el período de $\sec (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\sec (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 12

Resuelve $x$ en $\sec (x) = - 2$ .

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Calcula la inversa de la secante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la secante.

$x = arcsec (- 2)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $arcsec (- 2)$ es $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

La secante es negativa en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Simplifica $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Resta $2 π$ de $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Obtén el período de $\sec (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\sec (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 13

Enumera todas las soluciones.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 14

Consolida las respuestas.

$x = \frac{2 π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$