Trigonometría Ejemplos

$\tan (\frac{x}{2} - \frac{π}{4}) = 1$

Step 1

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \arctan (1)$

Step 2

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arctan (1)$ es $\frac{π}{4}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \frac{π}{4}$

Step 3

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Suma $\frac{π}{4}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4} + \frac{π}{4}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x}{2} = \frac{π + π}{4}$

Suma $π$ y $π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 π}{4}$

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Factoriza $2$ de $2 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 (π)}{4}$

Cancela los factores comunes.

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Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Cancela el factor común.

$\frac{x}{2} = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Reescribe la expresión.

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

Step 4

Como la expresión en cada lado de la ecuación tiene el mismo denominador, los numeradores deben ser iguales.

$x = π$

Step 5

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = π + \frac{π}{4}$

Step 6

Resuelve $x$

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Simplifica $π + \frac{π}{4}$ .

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Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Combina fracciones.

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Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Simplifica el numerador.

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Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Suma $4 π$ y $π$ .

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4}$

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Suma $\frac{π}{4}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{4} + \frac{π}{4}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x}{2} = \frac{5 π + π}{4}$

Suma $5 π$ y $π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{6 π}{4}$

Cancela el factor común de $6$ y $4$ .

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Factoriza $2$ de $6 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 (3 π)}{4}$

Cancela los factores comunes.

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Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 (3 π)}{2 (2)}$

Cancela el factor común.

$\frac{x}{2} = \frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2}$

Reescribe la expresión.

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2}$

Como la expresión en cada lado de la ecuación tiene el mismo denominador, los numeradores deben ser iguales.

$x = 3 π$

Step 7

Obtén el período de $\tan (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $\frac{1}{2}$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| \frac{1}{2} |}$

$\frac{1}{2}$ es aproximadamente $0.5$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$π \cdot 2$

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$2 π$

Step 8

El período de la función $\tan (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = π + 2 π n, 3 π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 9

Consolida las respuestas.

$x = π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$