Trigonometría Ejemplos

$\cos^{4} (x) - \sin^{4} (x) = 1 - 2 \sin^{2} (x)$

Step 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\cos^{4} (x) - \sin^{4} (x)$

Step 2

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Reescribe $\cos^{4} (x)$ como ${(\cos^{2} (x))}^{2}$ .

${(\cos^{2} (x))}^{2} - \sin^{4} (x)$

Reescribe $\sin^{4} (x)$ como ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ .

${(\cos^{2} (x))}^{2} - {(\sin^{2} (x))}^{2}$

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \cos^{2} (x)$ y $b = \sin^{2} (x)$ .

$(\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Reorganiza los términos.

$(\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

Aplica la identidad pitagórica.

$1 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

Multiplica $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ por $1$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \cos (x)$ y $b = \sin (x)$ .

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Step 3

Aplica la propiedad distributiva.

$(\cos (x) + \sin (x)) \cos (x) + (\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x))$

Step 4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \cos (x) + (\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x))$

Multiplica $\cos (x) \cos (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

${\cos (x)}^{1} \cos (x) + \sin (x) \cos (x) + (\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x))$

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

${\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1} + \sin (x) \cos (x) + (\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x))$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cos (x) + (\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x))$

Suma $1$ y $1$ .

${\cos (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + (\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x))$

Aplica la propiedad distributiva.

${\cos (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (- \sin (x))$

Multiplica $\sin (x) (- \sin (x))$ .

Toca para ver más pasos...

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

${\cos (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) - ({\sin (x)}^{1} \sin (x))$

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

${\cos (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) - ({\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1})$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${\cos (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

Suma $1$ y $1$ .

${\cos (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) - {\sin (x)}^{2}$

Suma $\cos (x) \sin (x)$ y $\cos (x) (- \sin (x))$ .

Toca para ver más pasos...

Reordena $\cos (x)$ y $- 1$ .

${\cos (x)}^{2} + \cos (x) \sin (x) - 1 \cdot \cos (x) \sin (x) - {\sin (x)}^{2}$

Resta $\cos (x) \sin (x)$ de $\cos (x) \sin (x)$ .

${\cos (x)}^{2} + 0 - {\sin (x)}^{2}$

Suma ${\cos (x)}^{2}$ y $0$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Step 5

Aplica la identidad pitagórica al revés.

$1 - \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Step 6

Resta ${\sin (x)}^{2}$ de $- {\sin (x)}^{2}$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x)$

Step 7

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\cos^{4} (x) - \sin^{4} (x) = 1 - 2 \sin^{2} (x)$ es una identidad