Trigonometría Ejemplos

$\tan (22.5)$

Step 1

Para convertir grados a radianes, multiplica por $\frac{π}{180 °}$ , ya que un círculo completo es $360 °$ o $2 π$ radianes.

Step 2

El valor exacto de $\tan (22.5)$ es $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ .

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Reescribe $22.5$ como un ángulo donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas dividido por $2$ .

$\tan (\frac{45}{2}) \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Aplica la razón del ángulo mitad de la tangente.

$(\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{1 + \cos (45)}}) \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Cambia $\pm$ por $+$ porque la tangente es positiva en el primer cuadrante.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{1 + \cos (45)}} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Simplifica $\sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{1 + \cos (45)}}$ .

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El valor exacto de $\cos (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (45)}} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (45)}} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (45)}} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

El valor exacto de $\cos (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Reescribe la expresión.

$\sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{1}{2 + \sqrt{2}})} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Multiplica $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ por $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$\sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{1}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Multiplica $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ por $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$\sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})})} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Expande el denominador con el método PEIU.

$\sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}})} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Simplifica.

$\sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{2 - \sqrt{2}}{2})} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{2 (\frac{2 - \sqrt{2}}{2}) - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\sqrt{2 (\frac{2 - \sqrt{2}}{2}) - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Reescribe la expresión.

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Combina $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ y $\sqrt{2}$ .

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Simplifica cada término.

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Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Multiplica $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

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Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2}} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2}} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Suma $1$ y $1$ .

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}{2}} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Simplifica cada término.

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Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Reescribe la expresión.

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2}{2}} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Evalúa el exponente.

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2}{2}} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Cancela el factor común de $2 \sqrt{2} - 2$ y $2$ .

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Factoriza $2$ de $2 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) - 2}{2}} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot - 1}{2}} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Factoriza $2$ de $2 (\sqrt{2}) + 2 (- 1)$ .

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2}} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Cancela los factores comunes.

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Factoriza $2$ de $2$ .

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 (1)}} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Cancela el factor común.

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 \cdot 1}} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Reescribe la expresión.

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{1}} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Divide $\sqrt{2} - 1$ por $1$ .

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - (\sqrt{2} - 1)} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Suma $2$ y $1$ .

$\sqrt{3 - \sqrt{2} - \sqrt{2}} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Resta $\sqrt{2}$ de $- \sqrt{2}$ .

$\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Step 3

Combina $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ y $\frac{π}{180}$ .

$\frac{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} π}{180}$ radianes