Trigonometría Ejemplos

$\tan (105)$

Step 1

Para convertir grados a radianes, multiplica por $\frac{π}{180 °}$ , ya que un círculo completo es $360 °$ o $2 π$ radianes.

Step 2

El valor exacto de $\tan (105)$ es $- 2 - \sqrt{3}$ .

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Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque la tangente es negativa en el segundo cuadrante.

$- \tan (75) \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Divide $75$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$- \tan (30 + 45) \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Aplica la suma de la razón de los ángulos.

$- \frac{\tan (30) + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

El valor exacto de $\tan (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

El valor exacto de $\tan (45)$ es $1$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \tan (30) \tan (45)} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

El valor exacto de $\tan (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \tan (45)} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

El valor exacto de $\tan (45)$ es $1$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Simplifica $- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ .

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Multiplica el numerador y el denominador de la fracción compleja por $3$ .

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Multiplica $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Combinar.

$- \frac{3 (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1)}{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{3 (\frac{\sqrt{3}}{3}) + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Cancela el factor común de $3$ .

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Cancela el factor común.

$- \frac{3 (\frac{\sqrt{3}}{3}) + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Reescribe la expresión.

$- \frac{\sqrt{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Multiplica $3$ por $1$ .

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Simplifica el denominador.

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Multiplica $3$ por $1$ .

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Cancela el factor común de $3$ .

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Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ al numerador.

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (\frac{- \sqrt{3}}{3})} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Cancela el factor común.

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (\frac{- \sqrt{3}}{3})} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Reescribe la expresión.

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Multiplica $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ por $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Multiplica $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ por $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$- \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Expande el denominador con el método PEIU.

$- \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Simplifica.

$- \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Simplifica el numerador.

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Reordena los términos.

$- \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Eleva $3 + \sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Eleva $3 + \sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{2}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Reescribe ${(3 + \sqrt{3})}^{2}$ como $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ .

$- \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Expande $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{3 (3 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Simplifica y combina los términos similares.

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Simplifica cada término.

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Multiplica $3$ por $3$ .

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Mueve $3$ a la izquierda de $\sqrt{3}$ .

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Combina con la regla del producto para radicales.

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Multiplica $3$ por $3$ .

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Suma $9$ y $3$ .

$- \frac{12 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Suma $3 \sqrt{3}$ y $3 \sqrt{3}$ .

$- \frac{12 + 6 \sqrt{3}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Cancela el factor común de $12 + 6 \sqrt{3}$ y $6$ .

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Factoriza $6$ de $12$ .

$- \frac{6 \cdot 2 + 6 \sqrt{3}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Factoriza $6$ de $6 \sqrt{3}$ .

$- \frac{6 \cdot 2 + 6 (\sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Factoriza $6$ de $6 (2) + 6 (\sqrt{3})$ .

$- \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Cancela los factores comunes.

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Factoriza $6$ de $6$ .

$- \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 (1)} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Cancela el factor común.

$- \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 \cdot 1} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Reescribe la expresión.

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{1} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Divide $2 + \sqrt{3}$ por $1$ .

$- (2 + \sqrt{3}) \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Aplica la propiedad distributiva.

$(- 1 \cdot 2 - \sqrt{3}) \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$(- 2 - \sqrt{3}) \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Step 3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 \frac{π}{180} - \sqrt{3} \frac{π}{180}$ radianes

Step 4

Cancela el factor común de $2$ .

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Factoriza $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) (\frac{π}{180}) - \sqrt{3} \frac{π}{180}$ radianes

Factoriza $2$ de $180$ .

$2 \cdot (- 1 \frac{π}{2 \cdot 90}) - \sqrt{3} \frac{π}{180}$ radianes

Cancela el factor común.

$2 \cdot (- 1 \frac{π}{2 \cdot 90}) - \sqrt{3} \frac{π}{180}$ radianes

Reescribe la expresión.

$- 1 \frac{π}{90} - \sqrt{3} \frac{π}{180}$ radianes

Step 5

Combina $\frac{π}{180}$ y $\sqrt{3}$ .

$- 1 \frac{π}{90} - \frac{π \sqrt{3}}{180}$ radianes

Step 6

Reescribe $- 1 \frac{π}{90}$ como $- \frac{π}{90}$ .

$- \frac{π}{90} - \frac{π \sqrt{3}}{180}$ radianes