Trigonometría Ejemplos

$2 \cos^{2} (4 x) - 1 = 0$

Step 1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 \cos^{2} (4 x) = 1$

Step 2

Divide cada término en $2 \cos^{2} (4 x) = 1$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Divide cada término en $2 \cos^{2} (4 x) = 1$ por $2$ .

$\frac{2 \cos^{2} (4 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cos^{2} (4 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Divide $\cos^{2} (4 x)$ por $1$ .

$\cos^{2} (4 x) = \frac{1}{2}$

Step 3

Calcula la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\cos (4 x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Step 4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (4 x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\cos (4 x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (4 x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Combina y simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (4 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\cos (4 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\cos (4 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cos (4 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Suma $1$ y $1$ .

$\cos (4 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toca para ver más pasos...

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (4 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (4 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\cos (4 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\cos (4 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Reescribe la expresión.

$\cos (4 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Evalúa el exponente.

$\cos (4 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Step 5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\cos (4 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\cos (4 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\cos (4 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Step 6

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\cos (4 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (4 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Step 7

Resuelve $x$ en $\cos (4 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$4 x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

El valor exacto de $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ es $\frac{π}{4}$ .

$4 x = \frac{π}{4}$

Divide cada término en $4 x = \frac{π}{4}$ por $4$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Divide cada término en $4 x = \frac{π}{4}$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{4}}{4}$

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{4}}{4}$

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{4}}{4}$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{4}$

Multiplica $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica $\frac{π}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{π}{4 \cdot 4}$

Multiplica $4$ por $4$ .

$x = \frac{π}{16}$

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$4 x = 2 π - \frac{π}{4}$

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$4 x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Combina $2 π$ y $\frac{4}{4}$ .

$4 x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Multiplica $4$ por $2$ .

$4 x = \frac{8 π - π}{4}$

Resta $π$ de $8 π$ .

$4 x = \frac{7 π}{4}$

Divide cada término en $4 x = \frac{7 π}{4}$ por $4$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Divide cada término en $4 x = \frac{7 π}{4}$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{7 π}{4}}{4}$

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{7 π}{4}}{4}$

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{4}}{4}$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{4}$

Multiplica $\frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica $\frac{7 π}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{7 π}{4 \cdot 4}$

Multiplica $4$ por $4$ .

$x = \frac{7 π}{16}$

Obtén el período de $\cos (4 x)$ .

Toca para ver más pasos...

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $4$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $4$ es $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza $2$ de $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Cancela el factor común.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Reescribe la expresión.

$\frac{π}{2}$

El período de la función $\cos (4 x)$ es $\frac{π}{2}$ , por lo que los valores se repetirán cada $\frac{π}{2}$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{16} + \frac{π n}{2}, \frac{7 π}{16} + \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$

Step 8

Resuelve $x$ en $\cos (4 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$4 x = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

El valor exacto de $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ es $\frac{3 π}{4}$ .

$4 x = \frac{3 π}{4}$

Divide cada término en $4 x = \frac{3 π}{4}$ por $4$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Divide cada término en $4 x = \frac{3 π}{4}$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 π}{4}}{4}$

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 π}{4}}{4}$

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{4}}{4}$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{4}$

Multiplica $\frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica $\frac{3 π}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4 \cdot 4}$

Multiplica $4$ por $4$ .

$x = \frac{3 π}{16}$

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$4 x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$4 x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Combina $2 π$ y $\frac{4}{4}$ .

$4 x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Multiplica $4$ por $2$ .

$4 x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Resta $3 π$ de $8 π$ .

$4 x = \frac{5 π}{4}$

Divide cada término en $4 x = \frac{5 π}{4}$ por $4$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Divide cada término en $4 x = \frac{5 π}{4}$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{5 π}{4}}{4}$

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{5 π}{4}}{4}$

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{4}}{4}$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{4}$

Multiplica $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica $\frac{5 π}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 4}$

Multiplica $4$ por $4$ .

$x = \frac{5 π}{16}$

Obtén el período de $\cos (4 x)$ .

Toca para ver más pasos...

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $4$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $4$ es $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza $2$ de $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Cancela el factor común.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Reescribe la expresión.

$\frac{π}{2}$

El período de la función $\cos (4 x)$ es $\frac{π}{2}$ , por lo que los valores se repetirán cada $\frac{π}{2}$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π}{16} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{16} + \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$

Step 9

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{π}{16} + \frac{π n}{2}, \frac{7 π}{16} + \frac{π n}{2}, \frac{3 π}{16} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{16} + \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$

Step 10

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{16} + \frac{π n}{8}$ , para cualquier número entero $n$