Trigonometría Ejemplos

$2 \cos (x) + 2 \sin (x) = \sqrt{6}$

Step 1

Eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(2 \cos (x) + 2 \sin (x))}^{2} = {(\sqrt{6})}^{2}$

Step 2

Simplifica ${(2 \cos (x) + 2 \sin (x))}^{2}$ .

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Reescribe ${(2 \cos (x) + 2 \sin (x))}^{2}$ como $(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) + 2 \sin (x))$ .

$(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) + 2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Expande $(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) + 2 \sin (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cos (x) (2 \cos (x) + 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) + 2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) + 2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Simplifica y combina los términos similares.

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Simplifica cada término.

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Multiplica $2 \cos (x) (2 \cos (x))$ .

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Multiplica $2$ por $2$ .

$4 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$4 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$4 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Suma $1$ y $1$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Agrega paréntesis.

$4 \cos^{2} (x) + 2 (\cos (x) (2 \sin (x))) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Reordena $\cos (x)$ y $2 \sin (x)$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 (2 \sin (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Agrega paréntesis.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 (\sin (x) (2 \cos (x))) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Reordena $\sin (x)$ y $2$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 (2 \cdot \sin (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 \sin (2 x) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Multiplica $2 \sin (x) (2 \sin (x))$ .

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Multiplica $2$ por $2$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 \sin (2 x) + 4 \sin (x) \sin (x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 \sin (2 x) + 4 (\sin^{1} (x) \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 \sin (2 x) + 4 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 \sin (2 x) + 4 {\sin (x)}^{1 + 1} = {(\sqrt{6})}^{2}$

Suma $1$ y $1$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 \sin (2 x) + 4 \sin^{2} (x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Suma $2 \sin (2 x)$ y $2 \sin (2 x)$ .

$4 \cos^{2} (x) + 4 \sin (2 x) + 4 \sin^{2} (x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Mueve $4 \sin^{2} (x)$ .

$4 \cos^{2} (x) + 4 \sin^{2} (x) + 4 \sin (2 x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Factoriza $4$ de $4 \cos^{2} (x)$ .

$4 (\cos^{2} (x)) + 4 \sin^{2} (x) + 4 \sin (2 x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Factoriza $4$ de $4 \sin^{2} (x)$ .

$4 (\cos^{2} (x)) + 4 (\sin^{2} (x)) + 4 \sin (2 x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Factoriza $4$ de $4 (\cos^{2} (x)) + 4 (\sin^{2} (x))$ .

$4 (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) + 4 \sin (2 x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Reorganiza los términos.

$4 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + 4 \sin (2 x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Aplica la identidad pitagórica.

$4 \cdot 1 + 4 \sin (2 x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 + 4 \sin (2 x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Step 3

Reescribe ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$4 + 4 \sin (2 x) = {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 + 4 \sin (2 x) = 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$4 + 4 \sin (2 x) = 6^{\frac{2}{2}}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$4 + 4 \sin (2 x) = 6^{\frac{2}{2}}$

Reescribe la expresión.

$4 + 4 \sin (2 x) = 6^{1}$

Evalúa el exponente.

$4 + 4 \sin (2 x) = 6$

Step 4

Mueve todos los términos que no contengan $\sin (2 x)$ al lado derecho de la ecuación.

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Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$4 \sin (2 x) = 6 - 4$

Resta $4$ de $6$ .

$4 \sin (2 x) = 2$

Step 5

Divide cada término en $4 \sin (2 x) = 2$ por $4$ y simplifica.

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Divide cada término en $4 \sin (2 x) = 2$ por $4$ .

$\frac{4 \sin (2 x)}{4} = \frac{2}{4}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $4$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{4 \sin (2 x)}{4} = \frac{2}{4}$

Divide $\sin (2 x)$ por $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{2}{4}$

Simplifica el lado derecho.

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Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Factoriza $2$ de $2$ .

$\sin (2 x) = \frac{2 (1)}{4}$

Cancela los factores comunes.

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Factoriza $2$ de $4$ .

$\sin (2 x) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Cancela el factor común.

$\sin (2 x) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Reescribe la expresión.

$\sin (2 x) = \frac{1}{2}$

Step 6

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$2 x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Step 7

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arcsin (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{6}$ .

$2 x = \frac{π}{6}$

Step 8

Divide cada término en $2 x = \frac{π}{6}$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 x = \frac{π}{6}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Simplifica el lado derecho.

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Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Multiplica $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Multiplica $\frac{π}{6}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 2}$

Multiplica $6$ por $2$ .

$x = \frac{π}{12}$

Step 9

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$2 x = π - \frac{π}{6}$

Step 10

Resuelve $x$

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Simplifica.

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Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$2 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Combina $π$ y $\frac{6}{6}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Resta $π$ de $π \cdot 6$ .

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Reordena $π$ y $6$ .

$2 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Resta $π$ de $6 \cdot π$ .

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

Divide cada término en $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Simplifica el lado derecho.

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Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Multiplica $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Multiplica $\frac{5 π}{6}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

Multiplica $6$ por $2$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Step 11

Obtén el período de $\sin (2 x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $2$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 π}{2}$

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Step 12

El período de la función $\sin (2 x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 13

Excluye las soluciones que no hagan que $2 \cos (x) + 2 \sin (x) = \sqrt{6}$ sea verdadera.

$x = \frac{π}{12} + 2 π n, \frac{5 π}{12} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$