Trigonometría Ejemplos

$\tan (\arccos (\frac{x}{2}))$

Step 1

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(\frac{x}{2}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}})$ , $(\frac{x}{2}, 0)$ y el origen. Entonces $\arccos (\frac{x}{2})$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(\frac{x}{2}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}})$ . Por lo tanto, $\tan (\arccos (\frac{x}{2}))$ es $\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}{\frac{x}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}{\frac{x}{2}}$

Step 2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{2}{x}$

Step 3

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{2}{x}$

Step 4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = \frac{x}{2}$ .

$\sqrt{(1 + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}$

Step 5

Simplifica los términos.

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Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\sqrt{(\frac{2}{2} + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{2 + x}{2} (1 - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}$

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\sqrt{\frac{2 + x}{2} (\frac{2}{2} - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{2 + x}{2} \cdot \frac{2 - x}{2}} \frac{2}{x}$

Multiplica $\frac{2 + x}{2}$ por $\frac{2 - x}{2}$ .

$\sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{2 \cdot 2}} \frac{2}{x}$

Multiplica $2$ por $2$ .

$\sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}} \frac{2}{x}$

Step 6

Reescribe $\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))$ .

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Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $(2 + x) (2 - x)$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{4}} \frac{2}{x}$

Factoriza la potencia perfecta $2^{2}$ de $4$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}} \frac{2}{x}$

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))} \frac{2}{x}$

Step 7

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{1}{2} \sqrt{(2 + x) (2 - x)} \frac{2}{x}$

Step 8

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ .

$\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2} \cdot \frac{2}{x}$

Step 9

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2} \cdot \frac{2}{x}$

Reescribe la expresión.

$\sqrt{(2 + x) (2 - x)} \frac{1}{x}$

Step 10

Combina $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{x}$