Trigonometría Ejemplos

sin (2 x)

$\sin (2 x)$

Step 1

Un buen método para expandir

sin (2 x)

$\sin (2 x)$ es usar el teorema de DeMoivre

(r {(cos (x) + i \cdot sin (x))}^{n} = r^{n} (cos (n x) + i \cdot sin (n x)))

$(r {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n} = r^{n} (\cos (n x) + i \cdot \sin (n x)))$ . Cuando

r = 1

$r = 1$ ,

cos (n x) + i \cdot sin (n x) = {(cos (x) + i \cdot sin (x))}^{n}

$\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ .

cos (n x) + i \cdot sin (n x) = {(cos (x) + i \cdot sin (x))}^{n}

$\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$

Step 2

Expande el lado derecho de

cos (n x) + i \cdot sin (n x) = {(cos (x) + i \cdot sin (x))}^{n}

$\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ con el teorema del binomio.

Expandir

{(cos (x) + i \cdot sin (x))}^{2}

${(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{2}$

Step 3

Reescribe

{(cos (x) + i sin (x))}^{2}

${(\cos (x) + i \sin (x))}^{2}$ como

(cos (x) + i sin (x)) (cos (x) + i sin (x))

$(\cos (x) + i \sin (x)) (\cos (x) + i \sin (x))$ .

(cos (x) + i sin (x)) (cos (x) + i sin (x))

$(\cos (x) + i \sin (x)) (\cos (x) + i \sin (x))$

Step 4

Expande

(cos (x) + i sin (x)) (cos (x) + i sin (x))

$(\cos (x) + i \sin (x)) (\cos (x) + i \sin (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Aplica la propiedad distributiva.

cos (x) (cos (x) + i sin (x)) + i sin (x) (cos (x) + i sin (x))

$\cos (x) (\cos (x) + i \sin (x)) + i \sin (x) (\cos (x) + i \sin (x))$

Aplica la propiedad distributiva.

cos (x) cos (x) + cos (x) (i sin (x)) + i sin (x) (cos (x) + i sin (x))

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (i \sin (x)) + i \sin (x) (\cos (x) + i \sin (x))$

Aplica la propiedad distributiva.

cos (x) cos (x) + cos (x) (i sin (x)) + i sin (x) cos (x) + i sin (x) (i sin (x))

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (i \sin (x)) + i \sin (x) \cos (x) + i \sin (x) (i \sin (x))$

cos (x) cos (x) + cos (x) (i sin (x)) + i sin (x) cos (x) + i sin (x) (i sin (x))

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (i \sin (x)) + i \sin (x) \cos (x) + i \sin (x) (i \sin (x))$

Step 5

Simplifica y combina los términos similares.

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Simplifica cada término.

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Multiplica

cos (x) cos (x)

$\cos (x) \cos (x)$ .

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Eleva

cos (x)

$\cos (x)$ a la potencia de

1

$1$ .

{cos}^{1} (x) cos (x) + cos (x) (i sin (x)) + i sin (x) cos (x) + i sin (x) (i sin (x))

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \cos (x) (i \sin (x)) + i \sin (x) \cos (x) + i \sin (x) (i \sin (x))$

Eleva

cos (x)

$\cos (x)$ a la potencia de

1

$1$ .

{cos}^{1} (x) {cos}^{1} (x) + cos (x) (i sin (x)) + i sin (x) cos (x) + i sin (x) (i sin (x))

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \cos (x) (i \sin (x)) + i \sin (x) \cos (x) + i \sin (x) (i \sin (x))$

Usa la regla de la potencia

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

{cos (x)}^{1 + 1} + cos (x) (i sin (x)) + i sin (x) cos (x) + i sin (x) (i sin (x))

${\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) (i \sin (x)) + i \sin (x) \cos (x) + i \sin (x) (i \sin (x))$

Suma

1

$1$ y

1

$1$ .

{cos}^{2} (x) + cos (x) (i sin (x)) + i sin (x) cos (x) + i sin (x) (i sin (x))

$\cos^{2} (x) + \cos (x) (i \sin (x)) + i \sin (x) \cos (x) + i \sin (x) (i \sin (x))$

{cos}^{2} (x) + cos (x) (i sin (x)) + i sin (x) cos (x) + i sin (x) (i sin (x))

$\cos^{2} (x) + \cos (x) (i \sin (x)) + i \sin (x) \cos (x) + i \sin (x) (i \sin (x))$

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

{cos}^{2} (x) + i cos (x) sin (x) + i sin (x) cos (x) + i sin (x) (i sin (x))

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) + i \sin (x) (i \sin (x))$

Multiplica

i sin (x) (i sin (x))

$i \sin (x) (i \sin (x))$ .

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Eleva

i

$i$ a la potencia de

1

$1$ .

{cos}^{2} (x) + i cos (x) sin (x) + i sin (x) cos (x) + i^{1} i sin (x) sin (x)

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) + i^{1} i \sin (x) \sin (x)$

Eleva

i

$i$ a la potencia de

1

$1$ .

{cos}^{2} (x) + i cos (x) sin (x) + i sin (x) cos (x) + i^{1} i^{1} sin (x) sin (x)

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) + i^{1} i^{1} \sin (x) \sin (x)$

Usa la regla de la potencia

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

{cos}^{2} (x) + i cos (x) sin (x) + i sin (x) cos (x) + i^{1 + 1} sin (x) sin (x)

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) + i^{1 + 1} \sin (x) \sin (x)$

Suma

$1$ y

$1$ .

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) + i^{2} \sin (x) \sin (x)$

Eleva

$\sin (x)$ a la potencia de

$1$ .

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) + i^{2} (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Eleva

$\sin (x)$ a la potencia de

$1$ .

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) + i^{2} (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Usa la regla de la potencia

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) + i^{2} {\sin (x)}^{1 + 1}$

Suma

$1$ y

$1$ .

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) + i^{2} \sin^{2} (x)$

Reescribe

$i^{2}$ como

$- 1$ .

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) - 1 \sin^{2} (x)$

Reescribe

$- 1 \sin^{2} (x)$ como

$- \sin^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x)$

Reordena los factores de

$i \sin (x) \cos (x)$ .

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x)$

Suma

$i \cos (x) \sin (x)$ y

$i \cos (x) \sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) + 2 i \cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x)$

Step 6

Mueve

$- \sin^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 i \cos (x) \sin (x)$

Step 7

Aplica la razón del ángulo doble del coseno.

$\cos (2 x) + 2 i \cos (x) \sin (x)$

Step 8

Simplifica cada término.

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Agrega paréntesis.

$\cos (2 x) + 2 i (\cos (x) \sin (x))$

Reordena

$2 i$ y

$\cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (2 x) + \cos (x) \sin (x) (2 i)$

Agrega paréntesis.

$\cos (2 x) + \cos (x) (\sin (x) \cdot 2) i$

Reordena

$\cos (x)$ y

$\sin (x) \cdot 2$ .

$\cos (2 x) + \sin (x) \cdot 2 \cos (x) i$

Reordena

$\sin (x)$ y

$2$ .

$\cos (2 x) + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) i$

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$\cos (2 x) + \sin (2 x) i$

Step 9

Reordena los factores en

$\cos (2 x) + \sin (2 x) i$ .

$\cos (2 x) + i \sin (2 x)$

Step 10

Saca las expresiones con la parte imaginaria, que son equivalentes a

$\sin (2 x)$ . Elimina el número imaginario

$i$ .

$\sin (2 x) = 2 \sin (x) \cos (x)$