Trigonometría Ejemplos

$\frac{\csc (x)}{\cot (x) + \tan (x)} = \cos (x)$

Paso 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\frac{\csc (x)}{\cot (x) + \tan (x)}$

Paso 2

Convierte a senos y cosenos.

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Paso 2.1

Aplica la identidad recíproca a $\csc (x)$ .

$\frac{\frac{1}{\sin (x)}}{\cot (x) + \tan (x)}$

Paso 2.2

Escribe $\cot (x)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \tan (x)}$

Paso 2.3

Escribe $\tan (x)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Paso 3.2

Simplifica el denominador.

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Paso 3.2.1

Para escribir $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Paso 3.2.2

Para escribir $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}}$

Paso 3.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $\sin (x) \cos (x)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.2.3.1

Multiplica $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ por $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}}$

Paso 3.2.3.2

Multiplica $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ por $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)} + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

Paso 3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

Paso 3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.5.1

Multiplica $\cos (x) \cos (x)$ .

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Paso 3.2.5.1.1

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{{\cos (x)}^{1} \cos (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

Paso 3.2.5.1.2

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1} + \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

Paso 3.2.5.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

Paso 3.2.5.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{{\cos (x)}^{2} + \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

Paso 3.2.5.2

Multiplica $\sin (x) \sin (x)$ .

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Paso 3.2.5.2.1

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{{\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{1} \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

Paso 3.2.5.2.2

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{{\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}{\cos (x) \sin (x)}}$

Paso 3.2.5.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{{\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \sin (x)}}$

Paso 3.2.5.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{{\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2}}{\cos (x) \sin (x)}}$

Paso 3.3

Combinar.

$\frac{1 \cdot 1}{\sin (x) \frac{{\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2}}{\cos (x) \sin (x)}}$

Paso 3.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{1}{\sin (x) \frac{{\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2}}{\cos (x) \sin (x)}}$

Paso 3.5

Combina $\sin (x)$ y $\frac{{\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2}}{\cos (x) \sin (x)}$ .

$\frac{1}{\frac{\sin (x) ({\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2})}{\cos (x) \sin (x)}}$

Paso 3.6

Reduce la expresión $\frac{\sin (x) ({\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2})}{\cos (x) \sin (x)}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 3.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\frac{\sin (x) ({\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2})}{\cos (x) \sin (x)}}$

Paso 3.6.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\frac{{\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2}}{\cos (x)}}$

Paso 3.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$1 \frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2}}$

Paso 3.8

Multiplica $\frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2}}$ por $1$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)}$

Paso 4

Aplica la identidad pitagórica.

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Paso 4.1

Reorganiza los términos.

$\frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}$

Paso 4.2

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{\cos (x)}{1}$

Paso 5

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x)$

Paso 6

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\frac{\csc (x)}{\cot (x) + \tan (x)} = \cos (x)$ es una identidad