Trigonometría Ejemplos

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{3} = 10$

Paso 1

Multiplica ambos lados por $3$ .

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{3} \cdot 3 = 10 \cdot 3$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{3} \cdot 3 = 10 \cdot 3$

Paso 2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$e^{x} + e^{- x} = 10 \cdot 3$

Paso 2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.1

Multiplica $10$ por $3$ .

$e^{x} + e^{- x} = 30$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Reescribe $e^{- x}$ como exponenciación.

$e^{x} + {(e^{x})}^{- 1} = 30$

Paso 3.2

Sustituye $u$ por $e^{x}$ .

$u + u^{- 1} = 30$

Paso 3.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + \frac{1}{u} = 30$

Paso 3.4

Resuelve $u$

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Paso 3.4.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.4.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, u, 1$

Paso 3.4.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$u$

Paso 3.4.2

Multiplica cada término en $u + \frac{1}{u} = 30$ por $u$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.4.2.1

Multiplica cada término en $u + \frac{1}{u} = 30$ por $u$ .

$u \cdot u + \frac{1}{u} u = 30 u$

Paso 3.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.2.1.1

Multiplica $u$ por $u$ .

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 30 u$

Paso 3.4.2.2.1.2

Cancela el factor común de $u$ .

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Paso 3.4.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 30 u$

Paso 3.4.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$u^{2} + 1 = 30 u$

Paso 3.4.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.4.3.1

Resta $30 u$ de ambos lados de la ecuación.

$u^{2} + 1 - 30 u = 0$

Paso 3.4.3.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.4.3.3

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 30$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $u$ .

$\frac{30 \pm \sqrt{{(- 30)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.3.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.3.4.1.1

Eleva $- 30$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.3.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 3.4.3.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.3.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.3.4.1.3

Resta $4$ de $900$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{896}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.3.4.1.4

Reescribe $896$ como $8^{2} \cdot 14$ .

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Paso 3.4.3.4.1.4.1

Factoriza $64$ de $896$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{64 (14)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.3.4.1.4.2

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.3.4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$u = \frac{30 \pm 8 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.3.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$u = \frac{30 \pm 8 \sqrt{14}}{2}$

Paso 3.4.3.4.3

Simplifica $\frac{30 \pm 8 \sqrt{14}}{2}$ .

$u = 15 \pm 4 \sqrt{14}$

Paso 3.4.3.5

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$u = 15 + 4 \sqrt{14}, 15 - 4 \sqrt{14}$

Paso 3.5

Sustituye $15 + 4 \sqrt{14}$ por $u$ en $u = e^{x}$ .

$15 + 4 \sqrt{14} = e^{x}$

Paso 3.6

Resuelve $15 + 4 \sqrt{14} = e^{x}$ .

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Paso 3.6.1

Reescribe la ecuación como $e^{x} = 15 + 4 \sqrt{14}$ .

$e^{x} = 15 + 4 \sqrt{14}$

Paso 3.6.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (15 + 4 \sqrt{14})$

Paso 3.6.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.6.3.1

Expande $\ln (e^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (15 + 4 \sqrt{14})$

Paso 3.6.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (15 + 4 \sqrt{14})$

Paso 3.6.3.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = \ln (15 + 4 \sqrt{14})$

Paso 3.7

Sustituye $15 - 4 \sqrt{14}$ por $u$ en $u = e^{x}$ .

$15 - 4 \sqrt{14} = e^{x}$

Paso 3.8

Resuelve $15 - 4 \sqrt{14} = e^{x}$ .

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Paso 3.8.1

Reescribe la ecuación como $e^{x} = 15 - 4 \sqrt{14}$ .

$e^{x} = 15 - 4 \sqrt{14}$

Paso 3.8.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

Paso 3.8.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.8.3.1

Expande $\ln (e^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

Paso 3.8.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

Paso 3.8.3.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

Paso 3.9

Enumera las soluciones que hacen que la ecuación sea verdadera.

$x = \ln (15 + 4 \sqrt{14}), \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \ln (15 + 4 \sqrt{14}), \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

Forma decimal:

$x = 3.40008441 \dots, - 3.40008441 \dots$