Trigonometría Ejemplos

$3 \csc^{2} (x) = 4$

Paso 1

Divide cada término en $3 \csc^{2} (x) = 4$ por $3$ y simplifica.

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Paso 1.1

Divide cada término en $3 \csc^{2} (x) = 4$ por $3$ .

$\frac{3 \csc^{2} (x)}{3} = \frac{4}{3}$

Paso 1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 \csc^{2} (x)}{3} = \frac{4}{3}$

Paso 1.2.1.2

Divide $\csc^{2} (x)$ por $1$ .

$\csc^{2} (x) = \frac{4}{3}$

Paso 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\csc (x) = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

Paso 3

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ .

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Paso 3.1

Reescribe $\sqrt{\frac{4}{3}}$ como $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Paso 3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\csc (x) = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Paso 3.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\csc (x) = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

Paso 3.3

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 3.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.4.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 3.4.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 3.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 3.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 3.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 3.4.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 3.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 3.4.6.5

Evalúa el exponente.

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 5

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 6

Resuelve $x$ en $\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Paso 6.1

Calcula la inversa de la cosecante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la cosecante.

$x = arccsc (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Paso 6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.1

El valor exacto de $arccsc (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$ es $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Paso 6.3

La cosecante es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{3}$

Paso 6.4

Simplifica $π - \frac{π}{3}$ .

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Paso 6.4.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 6.4.2

Combina fracciones.

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Paso 6.4.2.1

Combina $π$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 6.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 6.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 6.4.3.1

Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Paso 6.4.3.2

Resta $π$ de $3 π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Paso 6.5

Obtén el período de $\csc (x)$ .

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Paso 6.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 6.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 6.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 6.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 6.6

El período de la función $\csc (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7

Resuelve $x$ en $\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Paso 7.1

Calcula la inversa de la cosecante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la cosecante.

$x = arccsc (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Paso 7.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.1

El valor exacto de $arccsc (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ es $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Paso 7.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Paso 7.4

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 7.4.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Paso 7.4.2

El ángulo resultante de $\frac{4 π}{3}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Paso 7.5

Obtén el período de $\csc (x)$ .

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Paso 7.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 7.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 7.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 7.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 7.6

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 7.6.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{3}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Paso 7.6.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 7.6.3

Combina fracciones.

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Paso 7.6.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 7.6.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 7.6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 7.6.4.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Paso 7.6.4.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Paso 7.6.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{5 π}{3}$

Paso 7.7

El período de la función $\csc (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 8

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 9

Consolida las soluciones.

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Paso 9.1

Consolida $\frac{π}{3} + 2 π n$ y $\frac{4 π}{3} + 2 π n$ en $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 9.2

Consolida $\frac{2 π}{3} + 2 π n$ y $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ en $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$