Trigonometría Ejemplos

\sec (x) \csc (x) = 2 \csc (x)

$\sec (x) \csc (x) = 2 \csc (x)$

Paso 1

Resta

2 \csc (x)

$2 \csc (x)$ de ambos lados de la ecuación.

\sec (x) \csc (x) - 2 \csc (x) = 0

$\sec (x) \csc (x) - 2 \csc (x) = 0$

Paso 2

Factoriza

\csc (x)

$\csc (x)$ de

\sec (x) \csc (x) - 2 \csc (x)

$\sec (x) \csc (x) - 2 \csc (x)$ .

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Paso 2.1

Factoriza

\csc (x)

$\csc (x)$ de

\sec (x) \csc (x)

$\sec (x) \csc (x)$ .

\csc (x) \sec (x) - 2 \csc (x) = 0

$\csc (x) \sec (x) - 2 \csc (x) = 0$

Paso 2.2

Factoriza

\csc (x)

$\csc (x)$ de

- 2 \csc (x)

$- 2 \csc (x)$ .

\csc (x) \sec (x) + \csc (x) \cdot - 2 = 0

$\csc (x) \sec (x) + \csc (x) \cdot - 2 = 0$

Paso 2.3

Factoriza

\csc (x)

$\csc (x)$ de

\csc (x) \sec (x) + \csc (x) \cdot - 2

$\csc (x) \sec (x) + \csc (x) \cdot - 2$ .

\csc (x) (\sec (x) - 2) = 0

$\csc (x) (\sec (x) - 2) = 0$

\csc (x) (\sec (x) - 2) = 0

$\csc (x) (\sec (x) - 2) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a

0

$0$ , la expresión completa será igual a

0

$0$ .

\csc (x) = 0

$\csc (x) = 0$

\sec (x) - 2 = 0

$\sec (x) - 2 = 0$

Paso 4

Establece

\csc (x)

$\csc (x)$ igual a

0

$0$ y resuelve

x

$x$ .

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Paso 4.1

Establece

\csc (x)

$\csc (x)$ igual a

0

$0$ .

\csc (x) = 0

$\csc (x) = 0$

Paso 4.2

El rango de la cosecante es

y \leq - 1

$y \leq - 1$ y

y \geq 1

$y \geq 1$ . Como

0

$0$ no se encuentra en este rango, no hay solución.

No hay solución

Paso 5

Establece

\sec (x) - 2

$\sec (x) - 2$ igual a

0

$0$ y resuelve

x

$x$ .

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Paso 5.1

Establece

\sec (x) - 2

$\sec (x) - 2$ igual a

0

$0$ .

\sec (x) - 2 = 0

$\sec (x) - 2 = 0$

Paso 5.2

Resuelve

\sec (x) - 2 = 0

$\sec (x) - 2 = 0$ en

x

$x$ .

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Paso 5.2.1

Suma

2

$2$ a ambos lados de la ecuación.

\sec (x) = 2

$\sec (x) = 2$

Paso 5.2.2

Calcula la inversa de la secante de ambos lados de la ecuación para extraer

x

$x$ del interior de la secante.

x = arcsec (2)

$x = arcsec (2)$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

El valor exacto de

arcsec (2)

$arcsec (2)$ es

\frac{π}{3}

$\frac{π}{3}$ .

x = \frac{π}{3}

$x = \frac{π}{3}$

x = \frac{π}{3}

$x = \frac{π}{3}$

Paso 5.2.4

La secante es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de

2 π

$2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

x = 2 π - \frac{π}{3}

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Paso 5.2.5

Simplifica

2 π - \frac{π}{3}

$2 π - \frac{π}{3}$ .

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Paso 5.2.5.1

Para escribir

2 π

$2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ .

x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 5.2.5.2

Combina fracciones.

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Paso 5.2.5.2.1

Combina

2 π

$2 π$ y

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ .

x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 5.2.5.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 5.2.5.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.5.3.1

Multiplica

3

$3$ por

2

$2$ .

x = \frac{6 π - π}{3}

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Paso 5.2.5.3.2

Resta

π

$π$ de

6 π

$6 π$ .

x = \frac{5 π}{3}

$x = \frac{5 π}{3}$

x = \frac{5 π}{3}

$x = \frac{5 π}{3}$

x = \frac{5 π}{3}

$x = \frac{5 π}{3}$

Paso 5.2.6

Obtén el período de

\sec (x)

$\sec (x)$ .

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Paso 5.2.6.1

El período de la función puede calcularse mediante

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 5.2.6.2

Reemplaza

b

$b$ con

1

$1$ en la fórmula para el período.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 5.2.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre

0

$0$ y

1

$1$ es

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Paso 5.2.6.4

Divide

2 π

$2 π$ por

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Paso 5.2.7

El período de la función

\sec (x)

$\sec (x)$ es

2 π

$2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada

2 π

$2 π$ radianes en ambas direcciones.

x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero

n

$n$

x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero

n

$n$

x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero

n

$n$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen

\csc (x) (\sec (x) - 2) = 0

$\csc (x) (\sec (x) - 2) = 0$ verdadera.

x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero

n

$n$