Trigonometría Ejemplos

$\sin (\frac{π}{12}) \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{12})$ es $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Paso 1.1.1

Divide $\frac{π}{12}$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$\sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 1.1.2

Aplica la diferencia de la razón de los ángulos.

$(\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 1.1.3

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 1.1.4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 1.1.5

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 1.1.6

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 1.1.7

Simplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 1.1.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.7.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 1.1.7.1.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 1.1.7.1.1.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$(\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 1.1.7.1.1.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 1.1.7.1.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 1.1.7.1.2

Multiplica $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 1.1.7.1.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 1.1.7.1.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 1.1.7.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 1.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \cos (\frac{π}{3})) + \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 1.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \frac{1}{2}) + \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 1.4

Multiplica $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \frac{1}{2})$ .

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Paso 1.4.1

Multiplica $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 \cdot 2} + \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 1.4.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 1.5

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{12})$ es $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Paso 1.5.1

Divide $\frac{π}{12}$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 1.5.2

Aplica la diferencia de la razón de los ángulos $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 1.5.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 1.5.4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 1.5.5

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 1.5.6

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 1.5.7

Simplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 1.5.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.7.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 1.5.7.1.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 1.5.7.1.1.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 1.5.7.1.1.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 1.5.7.1.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 1.5.7.1.2

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 1.5.7.1.2.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 1.5.7.1.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 1.5.7.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 1.6

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \sin (\frac{π}{3})$

Paso 1.7

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 1.8

Multiplica $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 1.8.1

Multiplica $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{3}}{4 \cdot 2}$

Paso 1.8.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{3}}{8}$

Paso 1.9

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{3}}{8}$

Paso 1.10

Combina con la regla del producto para radicales.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{6 \cdot 3} + \sqrt{2} \sqrt{3}}{8}$

Paso 1.11

Combina con la regla del producto para radicales.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{6 \cdot 3} + \sqrt{2 \cdot 3}}{8}$

Paso 1.12

Simplifica cada término.

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Paso 1.12.1

Multiplica $6$ por $3$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{18} + \sqrt{2 \cdot 3}}{8}$

Paso 1.12.2

Reescribe $18$ como $3^{2} \cdot 2$ .

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Paso 1.12.2.1

Factoriza $9$ de $18$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{9 (2)} + \sqrt{2 \cdot 3}}{8}$

Paso 1.12.2.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 2} + \sqrt{2 \cdot 3}}{8}$

Paso 1.12.3

Retira los términos de abajo del radical.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 3}}{8}$

Paso 1.12.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8}$

Paso 2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- (\sqrt{6} - \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8}$

Paso 3

Simplifica cada término.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- \sqrt{6} - - \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8}$

Paso 3.2

Multiplica $- - \sqrt{2}$ .

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Paso 3.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \sqrt{6} + 1 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8}$

Paso 3.2.2

Multiplica $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8}$

Paso 4

Simplifica los términos.

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Paso 4.1

Suma $- \sqrt{6}$ y $\sqrt{6}$ .

$\frac{0 + \sqrt{2} + 3 \sqrt{2}}{8}$

Paso 4.2

Suma $0$ y $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + 3 \sqrt{2}}{8}$

Paso 4.3

Suma $\sqrt{2}$ y $3 \sqrt{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{8}$

Paso 4.4

Cancela el factor común de $4$ y $8$ .

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Paso 4.4.1

Factoriza $4$ de $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{4 (\sqrt{2})}{8}$

Paso 4.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.4.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Paso 4.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Paso 4.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Forma decimal:

$0.70710678 \dots$