Trigonometría Ejemplos

$\sec (θ) = - 2$

Paso 1

Usa la definición de secante para obtener los lados conocidos del triángulo rectángulo del círculo unitario. El cuadrante determina el signo en cada uno de los valores.

$\sec (θ) = \frac{hipotenusa}{adyacente}$

Paso 2

Obtén el lado opuesto del triángulo del círculo unitario. Dado que se conocen el lado adyacente y la hipotenusa, usa el teorema de Pitágoras para encontrar el lado restante.

$Opuesto = - \sqrt{{hipotenusa}^{2} - {adyacente}^{2}}$

Paso 3

Reemplaza los valores conocidos en la ecuación.

$Opuesto = - \sqrt{{(2)}^{2} - {(- 1)}^{2}}$

Paso 4

Simplifica dentro del radical.

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Paso 4.1

Haz que $\sqrt{{(2)}^{2} - {(- 1)}^{2}}$ sea negativo.

Opuesta $= - \sqrt{{(2)}^{2} - {(- 1)}^{2}}$

Paso 4.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

Opuesta $= - \sqrt{4 - {(- 1)}^{2}}$

Paso 4.3

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.3.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ .

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Paso 4.3.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

Opuesta $= - \sqrt{4 + (- 1) {(- 1)}^{2}}$

Paso 4.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

Opuesta $= - \sqrt{4 + {(- 1)}^{1 + 2}}$

Paso 4.3.2

Suma $1$ y $2$ .

Opuesta $= - \sqrt{4 + {(- 1)}^{3}}$

Paso 4.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

Opuesta $= - \sqrt{4 - 1}$

Paso 4.5

Resta $1$ de $4$ .

Opuesta $= - \sqrt{3}$

Paso 5

Obtén el valor del seno.

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Paso 5.1

Usa la definición de seno para obtener el valor de $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Paso 5.2

Sustituye los valores conocidos.

$\sin (θ) = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Paso 5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 6

Obtén el valor del coseno.

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Paso 6.1

Usa la definición de coseno para obtener el valor de $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos.

$\cos (θ) = \frac{- 1}{2}$

Paso 6.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\cos (θ) = - \frac{1}{2}$

Paso 7

Obtén el valor de la tangente.

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Paso 7.1

Usa la definición de tangente para obtener el valor de $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos.

$\tan (θ) = \frac{- \sqrt{3}}{- 1}$

Paso 7.3

Simplifica el valor de $\tan (θ)$ .

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Paso 7.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{1}$

Paso 7.3.2

Divide $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\tan (θ) = \sqrt{3}$

Paso 8

Obtén el valor de la cotangente.

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Paso 8.1

Usa la definición de cotangente para obtener el valor de $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Paso 8.2

Sustituye los valores conocidos.

$\cot (θ) = \frac{- 1}{- \sqrt{3}}$

Paso 8.3

Simplifica el valor de $\cot (θ)$ .

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Paso 8.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\cot (θ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.2

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (θ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 8.3.3.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 8.3.3.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 8.3.3.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 8.3.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 8.3.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 8.3.3.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 8.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 8.3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 8.3.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.3.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 8.3.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 9

Obtén el valor de la cosecante.

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Paso 9.1

Usa la definición de cosecante para obtener el valor de $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Paso 9.2

Sustituye los valores conocidos.

$\csc (θ) = \frac{2}{- \sqrt{3}}$

Paso 9.3

Simplifica el valor de $\csc (θ)$ .

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Paso 9.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\csc (θ) = - \frac{2}{\sqrt{3}}$

Paso 9.3.2

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (θ) = - (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Paso 9.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 9.3.3.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 9.3.3.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 9.3.3.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 9.3.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 9.3.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 9.3.3.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 9.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 9.3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 9.3.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 9.3.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 10

Esta es la solución de cada valor trigonométrico.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos (θ) = - \frac{1}{2}$

$\tan (θ) = \sqrt{3}$

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\sec (θ) = - 2$

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$