Trigonometría Ejemplos

$z = - 4 \sqrt{3} - 4 i$

Paso 1

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 2

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 3

Sustituye los valores reales de $a = - 4 \sqrt{3}$ y $b = - 4$ .

$| z | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(- 4 \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 4

Obtén $| z |$ .

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Paso 4.1

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + {(- 4 \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 4.1.2

Aplica la regla del producto a $- 4 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{16 + {(- 4)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 4.1.3

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 4.2

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.4.1

Cancela el factor común.

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.2.4.2

Reescribe la expresión.

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3}$

Paso 4.2.5

Evalúa el exponente.

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3}$

Paso 4.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.1

Multiplica $16$ por $3$ .

$| z | = \sqrt{16 + 48}$

Paso 4.3.2

Suma $16$ y $48$ .

$| z | = \sqrt{64}$

Paso 4.3.3

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$| z | = \sqrt{8^{2}}$

Paso 4.3.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$| z | = 8$

Paso 5

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{- 4}{- 4 \sqrt{3}})$

Paso 6

Como la tangente inversa de $\frac{- 4}{- 4 \sqrt{3}}$ produce un ángulo en el tercer cuadrante, el valor del ángulo es $\frac{7 π}{6}$ .

$θ = \frac{7 π}{6}$

Paso 7

Sustituye los valores de $θ = \frac{7 π}{6}$ y $| z | = 8$ .

$8 (\cos (\frac{7 π}{6}) + i \sin (\frac{7 π}{6}))$

Paso 8

Reemplaza el lado derecho de la ecuación con la forma trigonométrica.

$z = 8 (\cos (\frac{7 π}{6}) + i \sin (\frac{7 π}{6}))$