Trigonometría Ejemplos

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \cos (3 x) = 1$

Paso 1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{2}{\sqrt{3}} \cos (3 x)) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Paso 2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.1

Simplifica $\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{2}{\sqrt{3}} \cos (3 x))$ .

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Paso 2.1.1.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \cos (3 x)) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Paso 2.1.1.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.1.1.2.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \cos (3 x)) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Paso 2.1.1.2.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} \cos (3 x)) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Paso 2.1.1.2.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} \cos (3 x)) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Paso 2.1.1.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \cos (3 x)) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Paso 2.1.1.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \cos (3 x)) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Paso 2.1.1.2.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 2.1.1.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cos (3 x)) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Paso 2.1.1.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cos (3 x)) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Paso 2.1.1.2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \cos (3 x)) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Paso 2.1.1.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.1.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \cos (3 x)) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Paso 2.1.1.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} \cos (3 x)) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Paso 2.1.1.2.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cos (3 x)) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Paso 2.1.1.3

Combina $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ y $\cos (3 x)$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{3} \cos (3 x)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Paso 2.1.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.1.4.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{3} \cos (3 x)$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2 (\sqrt{3} \cos (3 x))}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Paso 2.1.1.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2 (\sqrt{3} \cos (3 x))}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Paso 2.1.1.4.3

Reescribe la expresión.

$\sqrt{3} \frac{\sqrt{3} \cos (3 x)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Paso 2.1.1.5

Combina $\sqrt{3}$ y $\frac{\sqrt{3} \cos (3 x)}{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} (\sqrt{3} \cos (3 x))}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Paso 2.1.1.6

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3} \cos (3 x)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Paso 2.1.1.7

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1} \cos (3 x)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Paso 2.1.1.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1} \cos (3 x)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Paso 2.1.1.9

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{2} \cos (3 x)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Paso 2.1.1.10

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 2.1.1.10.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \cos (3 x)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Paso 2.1.1.10.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cos (3 x)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Paso 2.1.1.10.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}} \cos (3 x)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Paso 2.1.1.10.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.1.10.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{3^{\frac{2}{2}} \cos (3 x)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Paso 2.1.1.10.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3^{1} \cos (3 x)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Paso 2.1.1.10.5

Evalúa el exponente.

$\frac{3 \cos (3 x)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Paso 2.1.1.11

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.1.1.11.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cos (3 x)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Paso 2.1.1.11.2

Divide $\cos (3 x)$ por $1$ .

$\cos (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Paso 2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $1$ .

$\cos (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 3

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$3 x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1

El valor exacto de $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ es $\frac{π}{6}$ .

$3 x = \frac{π}{6}$

Paso 5

Divide cada término en $3 x = \frac{π}{6}$ por $3$ y simplifica.

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Paso 5.1

Divide cada término en $3 x = \frac{π}{6}$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Paso 5.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 5.3.2

Multiplica $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 5.3.2.1

Multiplica $\frac{π}{6}$ por $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 3}$

Paso 5.3.2.2

Multiplica $6$ por $3$ .

$x = \frac{π}{18}$

Paso 6

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$3 x = 2 π - \frac{π}{6}$

Paso 7

Resuelve $x$

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Paso 7.1

Simplifica.

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Paso 7.1.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$3 x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 7.1.2

Combina $2 π$ y $\frac{6}{6}$ .

$3 x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 7.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Paso 7.1.4

Multiplica $6$ por $2$ .

$3 x = \frac{12 π - π}{6}$

Paso 7.1.5

Resta $π$ de $12 π$ .

$3 x = \frac{11 π}{6}$

Paso 7.2

Divide cada término en $3 x = \frac{11 π}{6}$ por $3$ y simplifica.

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Paso 7.2.1

Divide cada término en $3 x = \frac{11 π}{6}$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{11 π}{6}}{3}$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{11 π}{6}}{3}$

Paso 7.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{11 π}{6}}{3}$

Paso 7.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{11 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 7.2.3.2

Multiplica $\frac{11 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 7.2.3.2.1

Multiplica $\frac{11 π}{6}$ por $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{11 π}{6 \cdot 3}$

Paso 7.2.3.2.2

Multiplica $6$ por $3$ .

$x = \frac{11 π}{18}$

Paso 8

Obtén el período de $\cos (3 x)$ .

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Paso 8.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 8.2

Reemplaza $b$ con $3$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Paso 8.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $3$ es $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Paso 9

El período de la función $\cos (3 x)$ es $\frac{2 π}{3}$ , por lo que los valores se repetirán cada $\frac{2 π}{3}$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{18} + \frac{2 π n}{3}, \frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$