Trigonometría Ejemplos

$\cot (\frac{π}{8})$

Paso 1

Reescribe $\frac{π}{8}$ como un ángulo donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas dividido por $2$ .

$\cot (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Paso 2

Aplica la identidad recíproca.

$\frac{1}{\tan (\frac{\frac{π}{4}}{2})}$

Paso 3

Aplica la razón del ángulo mitad de la tangente.

$\frac{1}{\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}}$

Paso 4

Cambia $\pm$ por $+$ porque la cotangente es positiva en el primer cuadrante.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}}$

Paso 5

Simplifica $\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}}$ .

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}}$

Paso 5.1.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}}$

Paso 5.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}}$

Paso 5.2

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}}$

Paso 5.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}}}$

Paso 5.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}}$

Paso 5.3

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}}$

Paso 5.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}}$

Paso 5.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{2 + \sqrt{2}}}}$

Paso 5.3.3

Multiplica $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ por $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{1}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})}}$

Paso 5.3.4

Multiplica $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ por $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}}$

Paso 5.3.5

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}}}$

Paso 5.3.6

Simplifica.

$\frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

Paso 5.3.7

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{\sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

Paso 5.3.8

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.8.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

Paso 5.3.8.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

Paso 5.3.9

Combina $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ y $\sqrt{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Paso 5.3.10

Obtén el denominador común

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Paso 5.3.10.1

Escribe $2$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2}{1} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Paso 5.3.10.2

Multiplica $\frac{2}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{2} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Paso 5.3.10.3

Multiplica $\frac{2}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Paso 5.3.10.4

Escribe $- \sqrt{2}$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2}}{1} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Paso 5.3.10.5

Multiplica $\frac{- \sqrt{2}}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2}}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Paso 5.3.10.6

Multiplica $\frac{- \sqrt{2}}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2} \cdot 2}{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Paso 5.3.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2 - \sqrt{2} \cdot 2 - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Paso 5.3.12

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.12.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - \sqrt{2} \cdot 2 - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Paso 5.3.12.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Paso 5.3.12.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 1 \cdot 2 - - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Paso 5.3.12.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 - - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Paso 5.3.12.5

Multiplica $- - \sqrt{2}$ .

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Paso 5.3.12.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 + 1 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Paso 5.3.12.5.2

Multiplica $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Paso 5.3.12.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}}$

Paso 5.3.12.7

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}}$

Paso 5.3.12.8

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.12.8.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}}$

Paso 5.3.12.8.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}}$

Paso 5.3.12.8.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + 2}{2}}}$

Paso 5.3.13

Suma $4$ y $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{6 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}}{2}}}$

Paso 5.3.14

Resta $2 \sqrt{2}$ de $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{6 - 4 \sqrt{2}}{2}}}$

Paso 5.3.15

Cancela el factor común de $6 - 4 \sqrt{2}$ y $2$ .

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Paso 5.3.15.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 3 - 4 \sqrt{2}}{2}}}$

Paso 5.3.15.2

Factoriza $2$ de $- 4 \sqrt{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 2 (- 2 \sqrt{2})}{2}}}$

Paso 5.3.15.3

Factoriza $2$ de $2 (3) + 2 (- 2 \sqrt{2})$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2}}}$

Paso 5.3.15.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.15.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2 (1)}}}$

Paso 5.3.15.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}}}$

Paso 5.3.15.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{1}}}$

Paso 5.3.15.4.4

Divide $3 - 2 \sqrt{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$

Forma decimal:

$2.41421356 \dots$