Trigonometría Ejemplos

$\csc (75)$

Paso 1

Divide $75$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$\csc (30 + 45)$

Paso 2

Aplica la suma de la razón de los ángulos.

$\frac{\sec (30) \sec (45) \csc (30) \csc (45)}{\sec (30) \csc (45) + \csc (30) \sec (45)}$

Paso 3

El valor exacto de $\sec (30)$ es $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \sec (45) \csc (30) \csc (45)}{\sec (30) \csc (45) + \csc (30) \sec (45)}$

Paso 4

El valor exacto de $\sec (45)$ es $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \csc (30) \csc (45)}{\sec (30) \csc (45) + \csc (30) \sec (45)}$

Paso 5

El valor exacto de $\csc (30)$ es $2$ .

$\frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 \csc (45)}{\sec (30) \csc (45) + \csc (30) \sec (45)}$

Paso 6

El valor exacto de $\csc (45)$ es $\sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 \sqrt{2}}{\sec (30) \csc (45) + \csc (30) \sec (45)}$

Paso 7

El valor exacto de $\sec (30)$ es $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 \sqrt{2}}{\frac{2}{\sqrt{3}} \csc (45) + \csc (30) \sec (45)}$

Paso 8

El valor exacto de $\csc (45)$ es $\sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 \sqrt{2}}{\frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} + \csc (30) \sec (45)}$

Paso 9

El valor exacto de $\csc (30)$ es $2$ .

$\frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 \sqrt{2}}{\frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} + 2 \sec (45)}$

Paso 10

El valor exacto de $\sec (45)$ es $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 \sqrt{2}}{\frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}}$

Paso 11

Simplifica $\frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 \sqrt{2}}{\frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}}$ .

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Paso 11.1

Simplifica el numerador.

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Paso 11.1.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2}{\sqrt{3} \sqrt{2}} \cdot 2 \sqrt{2}}{\frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}}$

Paso 11.1.2

Combina $\frac{2 \cdot 2}{\sqrt{3} \sqrt{2}}$ y $2$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{\sqrt{3} \sqrt{2}} \sqrt{2}}{\frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}}$

Paso 11.1.3

Combina $\frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{\sqrt{3} \sqrt{2}}$ y $\sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}}$

Paso 11.2

Simplifica el denominador.

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Paso 11.2.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}}$

Paso 11.2.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 11.2.2.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}}$

Paso 11.2.2.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}}$

Paso 11.2.2.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}}$

Paso 11.2.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}}$

Paso 11.2.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}}$

Paso 11.2.2.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 11.2.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}}$

Paso 11.2.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}}$

Paso 11.2.2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}}$

Paso 11.2.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.2.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}}$

Paso 11.2.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}}$

Paso 11.2.2.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}}$

Paso 11.2.3

Multiplica $\frac{2 \sqrt{3}}{3} \sqrt{2}$ .

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Paso 11.2.3.1

Combina $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ y $\sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{2}}{3} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}}$

Paso 11.2.3.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{2 \cdot 3}}{3} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}}$

Paso 11.2.3.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}}$

Paso 11.2.4

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 (\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}$

Paso 11.2.5

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 11.2.5.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}}$

Paso 11.2.5.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}}$

Paso 11.2.5.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}}$

Paso 11.2.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}}$

Paso 11.2.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}}$

Paso 11.2.5.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 11.2.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

Paso 11.2.5.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

Paso 11.2.5.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}$

Paso 11.2.5.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.2.5.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}$

Paso 11.2.5.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}}$

Paso 11.2.5.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{2}}$

Paso 11.2.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.2.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{2}}$

Paso 11.2.6.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \sqrt{2}}$

Paso 11.2.7

Para escribir $2 \sqrt{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \sqrt{2} \cdot \frac{3}{3}}$

Paso 11.2.8

Combina $2 \sqrt{2}$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + \frac{2 \sqrt{2} \cdot 3}{3}}$

Paso 11.2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{2} \cdot 3}{3}}$

Paso 11.2.10

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}}$

Paso 11.3

Simplifica el numerador.

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Paso 11.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\frac{4 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}}$

Paso 11.3.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{\frac{8 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}}$

Paso 11.4

Simplifica el denominador.

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Paso 11.4.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\frac{8 \sqrt{2}}{\sqrt{3 \cdot 2}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}}$

Paso 11.4.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{\frac{8 \sqrt{2}}{\sqrt{6}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}}$

Paso 11.5

Simplifica el numerador.

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Paso 11.5.1

Combina $\sqrt{2}$ y $\sqrt{6}$ en un solo radical.

$\frac{8 \sqrt{\frac{2}{6}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}}$

Paso 11.5.2

Cancela el factor común de $2$ y $6$ .

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Paso 11.5.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{8 \sqrt{\frac{2 (1)}{6}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}}$

Paso 11.5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.5.2.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{8 \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}}$

Paso 11.5.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{8 \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}}$

Paso 11.5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{8 \sqrt{\frac{1}{3}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}}$

Paso 11.5.3

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{3}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{8 \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}}$

Paso 11.5.4

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{8 \frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}}$

Paso 11.5.5

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{8 (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}}$

Paso 11.5.6

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 11.5.6.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}}$

Paso 11.5.6.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}}$

Paso 11.5.6.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}}$

Paso 11.5.6.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}}$

Paso 11.5.6.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}}$

Paso 11.5.6.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 11.5.6.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}}$

Paso 11.5.6.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}}$

Paso 11.5.6.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}}$

Paso 11.5.6.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.5.6.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}}$

Paso 11.5.6.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}}$

Paso 11.5.6.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}}$

Paso 11.5.7

Combina $8$ y $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{8 \sqrt{3}}{3}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}}$

Paso 11.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{8 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}$

Paso 11.7

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 11.7.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}$

Paso 11.7.2

Reescribe la expresión.

$8 \sqrt{3} \frac{1}{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}$

Paso 11.8

Combina $\frac{1}{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}$ y $8$ .

$\frac{8}{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}} \sqrt{3}$

Paso 11.9

Combina $\frac{8}{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}$ y $\sqrt{3}$ .

$\frac{8 \sqrt{3}}{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}$

Paso 11.10

Cancela el factor común de $8$ y $2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}$ .

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Paso 11.10.1

Factoriza $2$ de $8 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}$

Paso 11.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.10.2.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{6}$ .

$\frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (\sqrt{6}) + 6 \sqrt{2}}$

Paso 11.10.2.2

Factoriza $2$ de $6 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (\sqrt{6}) + 2 (3 \sqrt{2})}$

Paso 11.10.2.3

Factoriza $2$ de $2 (\sqrt{6}) + 2 (3 \sqrt{2})$ .

$\frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (\sqrt{6} + 3 \sqrt{2})}$

Paso 11.10.2.4

Cancela el factor común.

$\frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (\sqrt{6} + 3 \sqrt{2})}$

Paso 11.10.2.5

Reescribe la expresión.

$\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{6} + 3 \sqrt{2}}$

Paso 11.11

Multiplica $\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{6} + 3 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}}{\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{6} + 3 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}}{\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}}$

Paso 11.12

Multiplica $\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{6} + 3 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}}{\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{3} (\sqrt{6} - 3 \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + 3 \sqrt{2}) (\sqrt{6} - 3 \sqrt{2})}$

Paso 11.13

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{4 \sqrt{3} (\sqrt{6} - 3 \sqrt{2})}{{\sqrt{6}}^{2} - 3 \sqrt{12} + 3 \sqrt{12} - 9 {\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 11.14

Simplifica.

$\frac{4 \sqrt{3} (\sqrt{6} - 3 \sqrt{2})}{- 12}$

Paso 11.15

Cancela el factor común de $4$ y $- 12$ .

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Paso 11.15.1

Factoriza $4$ de $4 \sqrt{3} (\sqrt{6} - 3 \sqrt{2})$ .

$\frac{4 (\sqrt{3} (\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}))}{- 12}$

Paso 11.15.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.15.2.1

Factoriza $4$ de $- 12$ .

$\frac{4 (\sqrt{3} (\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}))}{4 \cdot - 3}$

Paso 11.15.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 (\sqrt{3} (\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}))}{4 \cdot - 3}$

Paso 11.15.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{3} (\sqrt{6} - 3 \sqrt{2})}{- 3}$

Paso 11.16

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{6} + \sqrt{3} (- 3 \sqrt{2})}{- 3}$

Paso 11.17

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{3 \cdot 6} + \sqrt{3} (- 3 \sqrt{2})}{- 3}$

Paso 11.18

Multiplica $\sqrt{3} (- 3 \sqrt{2})$ .

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Paso 11.18.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{3 \cdot 6} - 3 \sqrt{3 \cdot 2}}{- 3}$

Paso 11.18.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{3 \cdot 6} - 3 \sqrt{6}}{- 3}$

Paso 11.19

Simplifica cada término.

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Paso 11.19.1

Multiplica $3$ por $6$ .

$\frac{\sqrt{18} - 3 \sqrt{6}}{- 3}$

Paso 11.19.2

Reescribe $18$ como $3^{2} \cdot 2$ .

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Paso 11.19.2.1

Factoriza $9$ de $18$ .

$\frac{\sqrt{9 (2)} - 3 \sqrt{6}}{- 3}$

Paso 11.19.2.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 2} - 3 \sqrt{6}}{- 3}$

Paso 11.19.3

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{6}}{- 3}$

Paso 11.20

Cancela el factor común de $3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{6}$ y $- 3$ .

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Paso 11.20.1

Factoriza $3$ de $3 \sqrt{2}$ .

$\frac{3 (\sqrt{2}) - 3 \sqrt{6}}{- 3}$

Paso 11.20.2

Factoriza $3$ de $- 3 \sqrt{6}$ .

$\frac{3 (\sqrt{2}) + 3 (- \sqrt{6})}{- 3}$

Paso 11.20.3

Factoriza $3$ de $3 (\sqrt{2}) + 3 (- \sqrt{6})$ .

$\frac{3 (\sqrt{2} - \sqrt{6})}{- 3}$

Paso 11.20.4

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (\sqrt{2} - \sqrt{6})$

Paso 11.21

Reescribe $- 1 \cdot (\sqrt{2} - \sqrt{6})$ como $- (\sqrt{2} - \sqrt{6})$ .

$- (\sqrt{2} - \sqrt{6})$

Paso 11.22

Aplica la propiedad distributiva.

$- \sqrt{2} - - \sqrt{6}$

Paso 11.23

Multiplica $- - \sqrt{6}$ .

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Paso 11.23.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \sqrt{2} + 1 \sqrt{6}$

Paso 11.23.2

Multiplica $\sqrt{6}$ por $1$ .

$- \sqrt{2} + \sqrt{6}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \sqrt{2} + \sqrt{6}$

Forma decimal:

$1.03527618 \dots$