Trigonometría Ejemplos

$1 + \sec^{2} (x) \sin^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

Paso 1

Comienza por el lado izquierdo.

$1 + \sec^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Paso 2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$1 + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin^{2} (x)$

Paso 2.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$1 + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin^{2} (x)$

Paso 2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 + \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin^{2} (x)$

Paso 2.4

Combina $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ y $\sin^{2} (x)$ .

$1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3

Aplica la identidad pitagórica al revés.

$1 + \frac{1 - \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$1 + \frac{1^{2} - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

Paso 4.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = \cos (x)$ .

$1 + \frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

Paso 4.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

Paso 4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{{\cos (x)}^{2} + (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

Paso 4.4

Simplifica el numerador.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Paso 5

Reescribe $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ como $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Paso 6

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$1 + \sec^{2} (x) \sin^{2} (x) = \sec^{2} (x)$ es una identidad