Trigonometría Ejemplos

$\sin^{4} (x) - \cos^{4} (x) = 2 \sin^{2} (x) - 1$

Paso 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\sin^{4} (x) - \cos^{4} (x)$

Paso 2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1

Reescribe $\sin^{4} (x)$ como ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ .

${(\sin^{2} (x))}^{2} - \cos^{4} (x)$

Paso 2.2

Reescribe $\cos^{4} (x)$ como ${(\cos^{2} (x))}^{2}$ .

${(\sin^{2} (x))}^{2} - {(\cos^{2} (x))}^{2}$

Paso 2.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \sin^{2} (x)$ y $b = \cos^{2} (x)$ .

$(\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) (\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x))$

Paso 2.4

Aplica la identidad pitagórica.

$1 (\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x))$

Paso 2.5

Multiplica $\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$ por $1$ .

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$

Paso 3

Aplica la identidad pitagórica al revés.

$1 - \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x)$

Paso 4

Resta ${\cos (x)}^{2}$ de $- {\cos (x)}^{2}$ .

$1 - 2 \cos^{2} (x)$

Paso 5

Aplica la identidad pitagórica al revés.

$1 - 2 (1 - \sin^{2} (x))$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 - 2 \cdot 1 - 2 (- {\sin (x)}^{2})$

Paso 6.1.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$1 - 2 - 2 (- {\sin (x)}^{2})$

Paso 6.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$1 - 2 + 2 {\sin (x)}^{2}$

Paso 6.2

Resta $2$ de $1$ .

$- 1 + 2 \sin^{2} (x)$

Paso 7

Reescribe $- 1 + 2 \sin^{2} (x)$ como $2 \sin^{2} (x) - 1$ .

$2 \sin^{2} (x) - 1$

Paso 8

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\sin^{4} (x) - \cos^{4} (x) = 2 \sin^{2} (x) - 1$ es una identidad