Trigonometría Ejemplos

$\cos (\frac{5 π}{12}) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

El valor exacto de $\cos (\frac{5 π}{12})$ es $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Paso 1.1.1

Divide $\frac{5 π}{12}$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$\cos (\frac{π}{6} + \frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.1.2

Aplica la suma de la razón de los ángulos $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$(\cos (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.1.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.1.4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.1.5

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (\frac{π}{4})) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.1.6

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.1.7

Simplifica $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 1.1.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.7.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 1.1.7.1.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.1.7.1.1.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$(\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.1.7.1.1.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.1.7.1.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.1.7.1.2

Multiplica $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 1.1.7.1.2.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.1.7.1.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.1.7.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.3

Multiplica $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 1.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{4 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.3.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.5

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.6

Multiplica $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

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Paso 1.6.1

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{6 \cdot 2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.6.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{6 \cdot 2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.6.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.6.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{6 \cdot 2} - {\sqrt{2}}^{2}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.7

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.1

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{12} - {\sqrt{2}}^{2}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.7.2

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 1.7.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{\sqrt{4 (3)} - {\sqrt{2}}^{2}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.7.2.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3} - {\sqrt{2}}^{2}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.7.3

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{2}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.7.4

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 1.7.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.7.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.7.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.7.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.7.4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.7.4.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{1}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.7.4.5

Evalúa el exponente.

$\frac{2 \sqrt{3} - 1 \cdot 2}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.7.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.8

Cancela el factor común de $2 \sqrt{3} - 2$ y $8$ .

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Paso 1.8.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (\sqrt{3}) - 2}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.8.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (\sqrt{3}) + 2 (- 1)}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.8.3

Factoriza $2$ de $2 (\sqrt{3}) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.8.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.8.4.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2 (4)} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.8.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2 \cdot 4} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.8.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.9

El valor exacto de $\sin (\frac{5 π}{12})$ es $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Paso 1.9.1

Divide $\frac{5 π}{12}$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \sin (\frac{π}{6} + \frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.9.2

Aplica la suma de la razón de los ángulos.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + (\sin (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.9.3

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + (\frac{1}{2} \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.9.4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.9.5

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (\frac{π}{4})) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.9.6

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.9.7

Simplifica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 1.9.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.9.7.1.1

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 1.9.7.1.1.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.9.7.1.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.9.7.1.2

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 1.9.7.1.2.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.9.7.1.2.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.9.7.1.2.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.9.7.1.2.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.9.7.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.10

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 1.11

Multiplica $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 1.11.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Paso 1.11.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) \sqrt{2}}{8}$

Paso 1.12

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{8}$

Paso 1.13

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{\sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{8}$

Paso 1.14

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{\sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{6 \cdot 2}}{8}$

Paso 1.15

Simplifica cada término.

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Paso 1.15.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{\sqrt{4} + \sqrt{6 \cdot 2}}{8}$

Paso 1.15.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{\sqrt{2^{2}} + \sqrt{6 \cdot 2}}{8}$

Paso 1.15.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{2 + \sqrt{6 \cdot 2}}{8}$

Paso 1.15.4

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{2 + \sqrt{12}}{8}$

Paso 1.15.5

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 1.15.5.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{2 + \sqrt{4 (3)}}{8}$

Paso 1.15.5.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{2 + \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{8}$

Paso 1.15.6

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{2 + 2 \sqrt{3}}{8}$

Paso 1.16

Cancela el factor común de $2 + 2 \sqrt{3}$ y $8$ .

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Paso 1.16.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{2 \cdot 1 + 2 \sqrt{3}}{8}$

Paso 1.16.2

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{2 \cdot 1 + 2 (\sqrt{3})}{8}$

Paso 1.16.3

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1 + 2 (\sqrt{3})$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{2 \cdot (1 + \sqrt{3})}{8}$

Paso 1.16.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.16.4.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{2 \cdot (1 + \sqrt{3})}{2 (4)}$

Paso 1.16.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{2 \cdot (1 + \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Paso 1.16.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{1 + \sqrt{3}}{4}$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sqrt{3} - 1 + 1 + \sqrt{3}}{4}$

Paso 2.2

Suma $\sqrt{3}$ y $\sqrt{3}$ .

$\frac{- 1 + 1 + 2 \sqrt{3}}{4}$

Paso 2.3

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 2.3.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$\frac{0 + 2 \sqrt{3}}{4}$

Paso 2.3.2

Suma $0$ y $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{4}$

Paso 2.4

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 2.4.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (\sqrt{3})}{4}$

Paso 2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.4.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 3

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Forma decimal:

$0.86602540 \dots$