Trigonometría Ejemplos

$\tan (x) < 0$ , $\sin (x) < 0$

Paso 1

Resuelve $\tan (x) < 0$ en $x$ .

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Paso 1.1

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x < \arctan (0)$

Paso 1.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.1

El valor exacto de $\arctan (0)$ es $0$ .

$x < 0$

Paso 1.3

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = π + 0$

Paso 1.4

Suma $π$ y $0$ .

$x = π$

Paso 1.5

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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Paso 1.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 1.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 1.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 1.5.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 1.6

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = π n, π + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.7

Consolida las respuestas.

$x = π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.8

Obtén el dominio de $\tan (x)$ .

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Paso 1.8.1

Establece el argumento en $\tan (x)$ igual que $\frac{π}{2} + π n$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.8.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$0 < x < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < x < π$

Paso 1.10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 1.10.1

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < \frac{π}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.10.1.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < \frac{π}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 1$

Paso 1.10.1.2

Reemplaza $x$ con $1$ en la desigualdad original.

$\tan (1) < 0$

Paso 1.10.1.3

$1.55740772$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 1.10.2

Prueba un valor en el intervalo $\frac{π}{2} < x < π$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.10.2.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{π}{2} < x < π$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 1.10.2.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$\tan (2) < 0$

Paso 1.10.2.3

$- 2.18503986$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 1.10.3

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$0 < x < \frac{π}{2}$ Falso

$\frac{π}{2} < x < π$ Verdadero

$0 < x < \frac{π}{2}$ Falso

$\frac{π}{2} < x < π$ Verdadero

Paso 1.11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2

Resuelve $\sin (x) < 0$ en $x$ .

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Paso 2.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x < \arcsin (0)$

Paso 2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.1

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$x < 0$

Paso 2.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - 0$

Paso 2.4

Resta $0$ de $π$ .

$x = π$

Paso 2.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 2.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 2.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 2.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 2.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 2.6

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.7

Consolida las respuestas.

$x = π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$0 < x < π$

$π < x < 2 π$

Paso 2.9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 2.9.1

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < π$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.9.1.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < π$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 2.9.1.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$\sin (2) < 0$

Paso 2.9.1.3

$0.90929742$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 2.9.2

Prueba un valor en el intervalo $π < x < 2 π$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.9.2.1

Elije un valor en el intervalo $π < x < 2 π$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 5$

Paso 2.9.2.2

Reemplaza $x$ con $5$ en la desigualdad original.

$\sin (5) < 0$

Paso 2.9.2.3

$- 0.95892427$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 2.9.3

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$0 < x < π$ Falso

$π < x < 2 π$ Verdadero

$0 < x < π$ Falso

$π < x < 2 π$ Verdadero

Paso 2.10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3

Obtén la intersección de $\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$ y $π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ .

No hay solución