Trigonometría Ejemplos

$1 + \sin (x) = 2 \cos^{2} (x)$

Paso 1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\sin (x) = 2 \cos^{2} (x) - 1$

Paso 2

Eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

$\sin^{2} (x) = {(2 \cos^{2} (x) - 1)}^{2}$

Paso 3

Aplica la razón del ángulo doble del coseno.

$\sin^{2} (x) = \cos^{2} (2 x)$

Paso 4

Resta $\cos^{2} (2 x)$ de ambos lados de la ecuación.

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (2 x) = 0$

Paso 5

Simplifica el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \sin (x)$ y $b = \cos (2 x)$ .

$(\sin (x) + \cos (2 x)) (\sin (x) - \cos (2 x)) = 0$

Paso 5.2

Usa la razón del ángulo doble para transformar $\cos (2 x)$ a $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$(\sin (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)) (\sin (x) - \cos (2 x)) = 0$

Paso 5.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1

Usa la razón del ángulo doble para transformar $\cos (2 x)$ a $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$(\sin (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)) (\sin (x) - (1 - 2 \sin^{2} (x))) = 0$

Paso 5.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(\sin (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)) (\sin (x) - 1 \cdot 1 - (- 2 \sin^{2} (x))) = 0$

Paso 5.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$(\sin (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)) (\sin (x) - 1 - (- 2 \sin^{2} (x))) = 0$

Paso 5.3.4

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$(\sin (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)) (\sin (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Paso 5.4

Expande $(\sin (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)) (\sin (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x))$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot - 1 + \sin (x) (2 \sin^{2} (x)) + 1 \sin (x) + 1 \cdot - 1 + 1 (2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) \cdot - 1 - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x)) = 0$

Paso 5.5

Simplifica los términos.

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Paso 5.5.1

Combina los términos opuestos en $\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot - 1 + \sin (x) (2 \sin^{2} (x)) + 1 \sin (x) + 1 \cdot - 1 + 1 (2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) \cdot - 1 - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x))$ .

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Paso 5.5.1.1

Reordena los factores en los términos $\sin (x) (2 \sin^{2} (x))$ y $- 2 \sin^{2} (x) \sin (x)$ .

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot - 1 + 2 \sin^{2} (x) \sin (x) + 1 \sin (x) + 1 \cdot - 1 + 1 (2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) \cdot - 1 - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x)) = 0$

Paso 5.5.1.2

Resta $2 \sin^{2} (x) \sin (x)$ de $2 \sin^{2} (x) \sin (x)$ .

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot - 1 + 1 \sin (x) + 1 \cdot - 1 + 1 (2 \sin^{2} (x)) + 0 - 2 \sin^{2} (x) \cdot - 1 - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x)) = 0$

Paso 5.5.1.3

Suma $\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot - 1 + 1 \sin (x) + 1 \cdot - 1 + 1 (2 \sin^{2} (x))$ y $0$ .

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot - 1 + 1 \sin (x) + 1 \cdot - 1 + 1 (2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot - 1 - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x)) = 0$

Paso 5.5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.2.1

Multiplica $\sin (x) \sin (x)$ .

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Paso 5.5.2.1.1

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot - 1 + 1 \sin (x) + 1 \cdot - 1 + 1 (2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot - 1 - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x)) = 0$

Paso 5.5.2.1.2

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot - 1 + 1 \sin (x) + 1 \cdot - 1 + 1 (2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot - 1 - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x)) = 0$

Paso 5.5.2.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cdot - 1 + 1 \sin (x) + 1 \cdot - 1 + 1 (2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot - 1 - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x)) = 0$

Paso 5.5.2.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cdot - 1 + 1 \sin (x) + 1 \cdot - 1 + 1 (2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot - 1 - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x)) = 0$

Paso 5.5.2.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $\sin (x)$ .

$\sin^{2} (x) - 1 \cdot \sin (x) + 1 \sin (x) + 1 \cdot - 1 + 1 (2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot - 1 - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x)) = 0$

Paso 5.5.2.3

Reescribe $- 1 \sin (x)$ como $- \sin (x)$ .

$\sin^{2} (x) - \sin (x) + 1 \sin (x) + 1 \cdot - 1 + 1 (2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot - 1 - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x)) = 0$

Paso 5.5.2.4

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin^{2} (x) - \sin (x) + \sin (x) + 1 \cdot - 1 + 1 (2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot - 1 - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x)) = 0$

Paso 5.5.2.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\sin^{2} (x) - \sin (x) + \sin (x) - 1 + 1 (2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot - 1 - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x)) = 0$

Paso 5.5.2.6

Multiplica $2 \sin^{2} (x)$ por $1$ .

$\sin^{2} (x) - \sin (x) + \sin (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) \cdot - 1 - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x)) = 0$

Paso 5.5.2.7

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\sin^{2} (x) - \sin (x) + \sin (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x)) = 0$

Paso 5.5.2.8

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\sin^{2} (x) - \sin (x) + \sin (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cdot (2 \sin^{2} (x) \sin^{2} (x)) = 0$

Paso 5.5.2.9

Multiplica $\sin^{2} (x)$ por $\sin^{2} (x)$ sumando los exponentes.

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Paso 5.5.2.9.1

Mueve $\sin^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) - \sin (x) + \sin (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cdot (2 (\sin^{2} (x) \sin^{2} (x))) = 0$

Paso 5.5.2.9.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sin^{2} (x) - \sin (x) + \sin (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cdot (2 {\sin (x)}^{2 + 2}) = 0$

Paso 5.5.2.9.3

Suma $2$ y $2$ .

$\sin^{2} (x) - \sin (x) + \sin (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cdot (2 \sin^{4} (x)) = 0$

Paso 5.5.2.10

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\sin^{2} (x) - \sin (x) + \sin (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{4} (x) = 0$

Paso 5.5.3

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 5.5.3.1

Combina los términos opuestos en $\sin^{2} (x) - \sin (x) + \sin (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{4} (x)$ .

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Paso 5.5.3.1.1

Suma $- \sin (x)$ y $\sin (x)$ .

$\sin^{2} (x) + 0 - 1 + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{4} (x) = 0$

Paso 5.5.3.1.2

Suma $\sin^{2} (x)$ y $0$ .

$\sin^{2} (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{4} (x) = 0$

Paso 5.5.3.2

Suma $\sin^{2} (x)$ y $2 \sin^{2} (x)$ .

$- 1 + 3 \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{4} (x) = 0$

Paso 5.5.3.3

Suma $3 \sin^{2} (x)$ y $2 \sin^{2} (x)$ .

$- 1 + 5 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{4} (x) = 0$

Paso 6

Factoriza $- 1 + 5 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{4} (x)$ .

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Paso 6.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 6.1.1

Reordena los términos.

$- 4 \sin^{4} (x) + 5 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Paso 6.1.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 4 \cdot - 1 = 4$ y cuya suma es $b = 5$ .

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Paso 6.1.2.1

Factoriza $5$ de $5 \sin^{2} (x)$ .

$- 4 \sin^{4} (x) + 5 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Paso 6.1.2.2

Reescribe $5$ como $1$ más $4$

$- 4 \sin^{4} (x) + (1 + 4) \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Paso 6.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 4 \sin^{4} (x) + 1 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Paso 6.1.2.4

Multiplica $\sin^{2} (x)$ por $1$ .

$- 4 \sin^{4} (x) + \sin^{2} (x) + 4 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Paso 6.1.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 6.1.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- 4 \sin^{4} (x) + \sin^{2} (x) + 4 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Paso 6.1.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\sin^{2} (x) (- 4 \sin^{2} (x) + 1) - (- 4 \sin^{2} (x) + 1) = 0$

Paso 6.1.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- 4 \sin^{2} (x) + 1$ .

$(- 4 \sin^{2} (x) + 1) (\sin^{2} (x) - 1) = 0$

Paso 6.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$(- 4 \sin^{2} (x) + 1^{2}) (\sin^{2} (x) - 1) = 0$

Paso 6.3

Reescribe $4 \sin^{2} (x)$ como ${(2 \sin (x))}^{2}$ .

$(- {(2 \sin (x))}^{2} + 1^{2}) (\sin^{2} (x) - 1) = 0$

Paso 6.4

Reordena $- {(2 \sin (x))}^{2}$ y $1^{2}$ .

$(1^{2} - {(2 \sin (x))}^{2}) (\sin^{2} (x) - 1) = 0$

Paso 6.5

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = 2 \sin (x)$ .

$(1 + 2 \sin (x)) (1 - (2 \sin (x))) (\sin^{2} (x) - 1) = 0$

Paso 6.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$(1 + 2 \sin (x)) (1 - 2 \sin (x)) (\sin^{2} (x) - 1) = 0$

Paso 6.7

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$(1 + 2 \sin (x)) (1 - 2 \sin (x)) (\sin^{2} (x) - 1^{2}) = 0$

Paso 6.8

Factoriza.

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Paso 6.8.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \sin (x)$ y $b = 1$ .

$(1 + 2 \sin (x)) (1 - 2 \sin (x)) ((\sin (x) + 1) (\sin (x) - 1)) = 0$

Paso 6.8.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(1 + 2 \sin (x)) (1 - 2 \sin (x)) (\sin (x) + 1) (\sin (x) - 1) = 0$

Paso 7

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$1 + 2 \sin (x) = 0$

$1 - 2 \sin (x) = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) - 1 = 0$

Paso 8

Establece $1 + 2 \sin (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.1

Establece $1 + 2 \sin (x)$ igual a $0$ .

$1 + 2 \sin (x) = 0$

Paso 8.2

Resuelve $1 + 2 \sin (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 8.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \sin (x) = - 1$

Paso 8.2.2

Divide cada término en $2 \sin (x) = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 8.2.2.1

Divide cada término en $2 \sin (x) = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 8.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 8.2.2.2.1.2

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

Paso 8.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Paso 8.2.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Paso 8.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.4.1

El valor exacto de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ es $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Paso 8.2.5

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Paso 8.2.6

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 8.2.6.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Paso 8.2.6.2

El ángulo resultante de $\frac{7 π}{6}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Paso 8.2.7

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 8.2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 8.2.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 8.2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 8.2.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 8.2.8

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 8.2.8.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{6}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Paso 8.2.8.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 8.2.8.3

Combina fracciones.

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Paso 8.2.8.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 8.2.8.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Paso 8.2.8.4

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.8.4.1

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Paso 8.2.8.4.2

Resta $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Paso 8.2.8.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{11 π}{6}$

Paso 8.2.9

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 9

Establece $1 - 2 \sin (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 9.1

Establece $1 - 2 \sin (x)$ igual a $0$ .

$1 - 2 \sin (x) = 0$

Paso 9.2

Resuelve $1 - 2 \sin (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 9.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 \sin (x) = - 1$

Paso 9.2.2

Divide cada término en $- 2 \sin (x) = - 1$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 9.2.2.1

Divide cada término en $- 2 \sin (x) = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 9.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 9.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 9.2.2.2.1.2

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 9.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.2.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Paso 9.2.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Paso 9.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.2.4.1

El valor exacto de $\arcsin (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Paso 9.2.5

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Paso 9.2.6

Simplifica $π - \frac{π}{6}$ .

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Paso 9.2.6.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 9.2.6.2

Combina fracciones.

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Paso 9.2.6.2.1

Combina $π$ y $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 9.2.6.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Paso 9.2.6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 9.2.6.3.1

Mueve $6$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Paso 9.2.6.3.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Paso 9.2.7

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 9.2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 9.2.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 9.2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 9.2.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 9.2.8

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 10

Establece $\sin (x) + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 10.1

Establece $\sin (x) + 1$ igual a $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Paso 10.2

Resuelve $\sin (x) + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 10.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\sin (x) = - 1$

Paso 10.2.2

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- 1)$

Paso 10.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.2.3.1

El valor exacto de $\arcsin (- 1)$ es $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Paso 10.2.4

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Paso 10.2.5

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 10.2.5.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Paso 10.2.5.2

El ángulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 10.2.6

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 10.2.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 10.2.6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 10.2.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 10.2.6.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 10.2.7

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 10.2.7.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{2}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Paso 10.2.7.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 10.2.7.3

Combina fracciones.

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Paso 10.2.7.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 10.2.7.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 10.2.7.4

Simplifica el numerador.

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Paso 10.2.7.4.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Paso 10.2.7.4.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Paso 10.2.7.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 10.2.8

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 11

Establece $\sin (x) - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.1

Establece $\sin (x) - 1$ igual a $0$ .

$\sin (x) - 1 = 0$

Paso 11.2

Resuelve $\sin (x) - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 11.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\sin (x) = 1$

Paso 11.2.2

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (1)$

Paso 11.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 11.2.3.1

El valor exacto de $\arcsin (1)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 11.2.4

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Paso 11.2.5

Simplifica $π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 11.2.5.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 11.2.5.2

Combina fracciones.

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Paso 11.2.5.2.1

Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 11.2.5.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 11.2.5.3

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.5.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Paso 11.2.5.3.2

Resta $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 11.2.6

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 11.2.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 11.2.6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 11.2.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 11.2.6.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 11.2.7

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 12

La solución final comprende todos los valores que hacen $(1 + 2 \sin (x)) (1 - 2 \sin (x)) (\sin (x) + 1) (\sin (x) - 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 13

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 14

Verifica cada una de las soluciones mediante su sustitución en $1 + \sin (x) = 2 \cos^{2} (x)$ y resolución.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$