Trigonometría Ejemplos

$3 \sin (x) - 2 \cos (x) = 1$

Paso 1

Usa la identidad para resolver la ecuación. En esta identidad, $θ$ representa el ángulo creado al trazar el punto $(a, b)$ en una gráfica y, por lo tanto, se puede obtener con $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ .

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ donde $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ y $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$

Paso 2

Establece la ecuación para obtener el valor de $θ$ .

$\tan^{-1} (- \frac{2}{3})$

Paso 3

Evalúa $\tan^{-1} (- \frac{2}{3})$ .

$θ = - 0.5880026$

Paso 4

Resuelve para obtener el valor de $R$ .

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Paso 4.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$R = \sqrt{9 + {(- 2)}^{2}}$

Paso 4.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$R = \sqrt{9 + 4}$

Paso 4.3

Suma $9$ y $4$ .

$R = \sqrt{13}$

Paso 5

Sustituye los valores conocidos en la ecuación.

$(\sqrt{13}) \sin (x - 0.5880026) = 1$

Paso 6

Divide cada término en $\sqrt{13} \sin (x - 0.5880026) = 1$ por $\sqrt{13}$ y simplifica.

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Paso 6.1

Divide cada término en $\sqrt{13} \sin (x - 0.5880026) = 1$ por $\sqrt{13}$ .

$\frac{\sqrt{13} \sin (x - 0.5880026)}{\sqrt{13}} = \frac{1}{\sqrt{13}}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común de $\sqrt{13}$ .

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{13} \sin (x - 0.5880026)}{\sqrt{13}} = \frac{1}{\sqrt{13}}$

Paso 6.2.1.2

Divide $\sin (x - 0.5880026)$ por $1$ .

$\sin (x - 0.5880026) = \frac{1}{\sqrt{13}}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{13}}$ por $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\sin (x - 0.5880026) = \frac{1}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$

Paso 6.3.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 6.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{13}}$ por $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\sin (x - 0.5880026) = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

Paso 6.3.2.2

Eleva $\sqrt{13}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (x - 0.5880026) = \frac{\sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13}}$

Paso 6.3.2.3

Eleva $\sqrt{13}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (x - 0.5880026) = \frac{\sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1}}$

Paso 6.3.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sin (x - 0.5880026) = \frac{\sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1 + 1}}$

Paso 6.3.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\sin (x - 0.5880026) = \frac{\sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{2}}$

Paso 6.3.2.6

Reescribe ${\sqrt{13}}^{2}$ como $13$ .

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Paso 6.3.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{13}$ como $13^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x - 0.5880026) = \frac{\sqrt{13}}{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 6.3.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x - 0.5880026) = \frac{\sqrt{13}}{13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 6.3.2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sin (x - 0.5880026) = \frac{\sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Paso 6.3.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$\sin (x - 0.5880026) = \frac{\sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Paso 6.3.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\sin (x - 0.5880026) = \frac{\sqrt{13}}{13^{1}}$

Paso 6.3.2.6.5

Evalúa el exponente.

$\sin (x - 0.5880026) = \frac{\sqrt{13}}{13}$

Paso 7

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x - 0.5880026 = \sin^{-1} (\frac{\sqrt{13}}{13})$

Paso 8

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.1

Evalúa $\sin^{-1} (\frac{\sqrt{13}}{13})$ .

$x - 0.5880026 = 0.2810349$

Paso 9

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1

Suma $0.5880026$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 0.2810349 + 0.5880026$

Paso 9.2

Suma $0.2810349$ y $0.5880026$ .

$x = 0.8690375$

Paso 10

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x - 0.5880026 = (3.14159265) - 0.2810349$

Paso 11

Resuelve $x$

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Paso 11.1

Resta $0.2810349$ de $3.14159265$ .

$x - 0.5880026 = 2.86055775$

Paso 11.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 11.2.1

Suma $0.5880026$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2.86055775 + 0.5880026$

Paso 11.2.2

Suma $2.86055775$ y $0.5880026$ .

$x = 3.44856035$

Paso 12

Obtén el período de $\sin (x - 0.5880026)$ .

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Paso 12.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 12.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 12.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 12.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 13

El período de la función $\sin (x - 0.5880026)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 0.8690375 + 2 π n, 3.44856035 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$