Trigonometría Ejemplos

$\tan (θ) = 1$

Paso 1

Usa la definición de tangente para obtener los lados conocidos del triángulo rectángulo del círculo unitario. El cuadrante determina el signo en cada uno de los valores.

$\tan (θ) = \frac{opuesto}{adyacente}$

Paso 2

Obtén la hipotenusa del triángulo del círculo unitario. Dado que se conocen los lados opuesto y adyacente, usa el teorema de Pitágoras para obtener el lado restante.

$Hipotenusa = \sqrt{{opuesto}^{2} + {adyacente}^{2}}$

Paso 3

Reemplaza los valores conocidos en la ecuación.

$Hipotenusa = \sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$

Paso 4

Simplifica dentro del radical.

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Paso 4.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

Hipotenusa $= \sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

Paso 4.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

Hipotenusa $= \sqrt{1 + 1}$

Paso 4.3

Suma $1$ y $1$ .

Hipotenusa $= \sqrt{2}$

Paso 5

Obtén el valor del seno.

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Paso 5.1

Usa la definición de seno para obtener el valor de $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Paso 5.2

Sustituye los valores conocidos.

$\sin (θ) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Paso 5.3

Simplifica el valor de $\sin (θ)$ .

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Paso 5.3.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (θ) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 5.3.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 5.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 5.3.2.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 5.3.2.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 5.3.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 5.3.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 5.3.2.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 5.3.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 5.3.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.3.2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.3.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.3.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 5.3.2.6.5

Evalúa el exponente.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 6

Obtén el valor del coseno.

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Paso 6.1

Usa la definición de coseno para obtener el valor de $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos.

$\cos (θ) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Paso 6.3

Simplifica el valor de $\cos (θ)$ .

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Paso 6.3.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 6.3.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 6.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 6.3.2.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 6.3.2.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 6.3.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 6.3.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 6.3.2.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 6.3.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 6.3.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 6.3.2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 6.3.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 6.3.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 6.3.2.6.5

Evalúa el exponente.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 7

Obtén el valor de la cotangente.

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Paso 7.1

Usa la definición de cotangente para obtener el valor de $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos.

$\cot (θ) = \frac{1}{1}$

Paso 7.3

Divide $1$ por $1$ .

$\cot (θ) = 1$

Paso 8

Obtén el valor de la secante.

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Paso 8.1

Usa la definición de secante para obtener el valor de $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Paso 8.2

Sustituye los valores conocidos.

$\sec (θ) = \frac{\sqrt{2}}{1}$

Paso 8.3

Divide $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\sec (θ) = \sqrt{2}$

Paso 9

Obtén el valor de la cosecante.

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Paso 9.1

Usa la definición de cosecante para obtener el valor de $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Paso 9.2

Sustituye los valores conocidos.

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{2}}{1}$

Paso 9.3

Divide $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\csc (θ) = \sqrt{2}$

Paso 10

Esta es la solución de cada valor trigonométrico.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan (θ) = 1$

$\cot (θ) = 1$

$\sec (θ) = \sqrt{2}$

$\csc (θ) = \sqrt{2}$