Trigonometría Ejemplos

$\cos^{2} (2 θ) - \sin^{2} (2 θ)$

Paso 1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \cos (2 θ)$ y $b = \sin (2 θ)$ .

$(\cos (2 θ) + \sin (2 θ)) (\cos (2 θ) - \sin (2 θ))$

Paso 2

Expande $(\cos (2 θ) + \sin (2 θ)) (\cos (2 θ) - \sin (2 θ))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (2 θ) (\cos (2 θ) - \sin (2 θ)) + \sin (2 θ) (\cos (2 θ) - \sin (2 θ))$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (2 θ) \cos (2 θ) + \cos (2 θ) (- \sin (2 θ)) + \sin (2 θ) (\cos (2 θ) - \sin (2 θ))$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (2 θ) \cos (2 θ) + \cos (2 θ) (- \sin (2 θ)) + \sin (2 θ) \cos (2 θ) + \sin (2 θ) (- \sin (2 θ))$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Combina los términos opuestos en $\cos (2 θ) \cos (2 θ) + \cos (2 θ) (- \sin (2 θ)) + \sin (2 θ) \cos (2 θ) + \sin (2 θ) (- \sin (2 θ))$ .

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Paso 3.1.1

Reordena los factores en los términos $\cos (2 θ) (- \sin (2 θ))$ y $\sin (2 θ) \cos (2 θ)$ .

$\cos (2 θ) \cos (2 θ) - \cos (2 θ) \sin (2 θ) + \cos (2 θ) \sin (2 θ) + \sin (2 θ) (- \sin (2 θ))$

Paso 3.1.2

Suma $- \cos (2 θ) \sin (2 θ)$ y $\cos (2 θ) \sin (2 θ)$ .

$\cos (2 θ) \cos (2 θ) + 0 + \sin (2 θ) (- \sin (2 θ))$

Paso 3.1.3

Suma $\cos (2 θ) \cos (2 θ)$ y $0$ .

$\cos (2 θ) \cos (2 θ) + \sin (2 θ) (- \sin (2 θ))$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Multiplica $\cos (2 θ) \cos (2 θ)$ .

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Paso 3.2.1.1

Eleva $\cos (2 θ)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{1} (2 θ) \cos (2 θ) + \sin (2 θ) (- \sin (2 θ))$

Paso 3.2.1.2

Eleva $\cos (2 θ)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{1} (2 θ) \cos^{1} (2 θ) + \sin (2 θ) (- \sin (2 θ))$

Paso 3.2.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${\cos (2 θ)}^{1 + 1} + \sin (2 θ) (- \sin (2 θ))$

Paso 3.2.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\cos^{2} (2 θ) + \sin (2 θ) (- \sin (2 θ))$

Paso 3.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\cos^{2} (2 θ) - \sin (2 θ) \sin (2 θ)$

Paso 3.2.3

Multiplica $- \sin (2 θ) \sin (2 θ)$ .

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Paso 3.2.3.1

Eleva $\sin (2 θ)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{2} (2 θ) - (\sin^{1} (2 θ) \sin (2 θ))$

Paso 3.2.3.2

Eleva $\sin (2 θ)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{2} (2 θ) - (\sin^{1} (2 θ) \sin^{1} (2 θ))$

Paso 3.2.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cos^{2} (2 θ) - {\sin (2 θ)}^{1 + 1}$

Paso 3.2.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$\cos^{2} (2 θ) - \sin^{2} (2 θ)$

Paso 4

Aplica la razón del ángulo doble del coseno.

$\cos (2 (2 θ))$

Paso 5

Multiplica $2$ por $2$ .

$\cos (4 θ)$