Trigonometría Ejemplos

$(\sin (θ) - \cos (θ)) - {(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2}$

Paso 1

Reescribe ${(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2}$ como $(\sin (θ) + \cos (θ)) (\sin (θ) + \cos (θ))$ .

$\sin (θ) - \cos (θ) - ((\sin (θ) + \cos (θ)) (\sin (θ) + \cos (θ)))$

Paso 2

Expande $(\sin (θ) + \cos (θ)) (\sin (θ) + \cos (θ))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sin (θ) - \cos (θ) - (\sin (θ) (\sin (θ) + \cos (θ)) + \cos (θ) (\sin (θ) + \cos (θ)))$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\sin (θ) - \cos (θ) - (\sin (θ) \sin (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (\sin (θ) + \cos (θ)))$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\sin (θ) - \cos (θ) - (\sin (θ) \sin (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cos (θ))$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Multiplica $\sin (θ) \sin (θ)$ .

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Paso 3.1.1.1

Eleva $\sin (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\sin (θ) - \cos (θ) - (\sin^{1} (θ) \sin (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cos (θ))$

Paso 3.1.1.2

Eleva $\sin (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\sin (θ) - \cos (θ) - (\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cos (θ))$

Paso 3.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sin (θ) - \cos (θ) - ({\sin (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cos (θ))$

Paso 3.1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\sin (θ) - \cos (θ) - (\sin^{2} (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cos (θ))$

Paso 3.1.2

Multiplica $\cos (θ) \cos (θ)$ .

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Paso 3.1.2.1

Eleva $\cos (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\sin (θ) - \cos (θ) - (\sin^{2} (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{1} (θ) \cos (θ))$

Paso 3.1.2.2

Eleva $\cos (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\sin (θ) - \cos (θ) - (\sin^{2} (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ))$

Paso 3.1.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sin (θ) - \cos (θ) - (\sin^{2} (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + {\cos (θ)}^{1 + 1})$

Paso 3.1.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$\sin (θ) - \cos (θ) - (\sin^{2} (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{2} (θ))$

Paso 3.2

Reordena los factores de $\sin (θ) \cos (θ)$ .

$\sin (θ) - \cos (θ) - (\sin^{2} (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{2} (θ))$

Paso 3.3

Suma $\cos (θ) \sin (θ)$ y $\cos (θ) \sin (θ)$ .

$\sin (θ) - \cos (θ) - (\sin^{2} (θ) + 2 \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{2} (θ))$

Paso 4

Mueve $\cos^{2} (θ)$ .

$\sin (θ) - \cos (θ) - (\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ) + 2 \cos (θ) \sin (θ))$

Paso 5

Aplica la identidad pitagórica.

$\sin (θ) - \cos (θ) - (1 + 2 \cos (θ) \sin (θ))$

Paso 6

Simplifica cada término.

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Paso 6.1

Reordena $2 \cos (θ)$ y $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) - \cos (θ) - (1 + \sin (θ) (2 \cos (θ)))$

Paso 6.2

Reordena $\sin (θ)$ y $2$ .

$\sin (θ) - \cos (θ) - (1 + 2 \cdot \sin (θ) \cos (θ))$

Paso 6.3

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$\sin (θ) - \cos (θ) - (1 + \sin (2 θ))$

Paso 7

Aplica la propiedad distributiva.

$\sin (θ) - \cos (θ) - 1 \cdot 1 - \sin (2 θ)$

Paso 8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\sin (θ) - \cos (θ) - 1 - \sin (2 θ)$