Trigonometría Ejemplos

$\ln (x - 6) + \ln (x - 5) = \ln (16 - 2 x)$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x - 6) (x - 5)) = \ln (16 - 2 x)$

Paso 1.2

Expande $(x - 6) (x - 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (x (x - 5) - 6 (x - 5)) = \ln (16 - 2 x)$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (x \cdot x + x \cdot - 5 - 6 (x - 5)) = \ln (16 - 2 x)$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (x \cdot x + x \cdot - 5 - 6 x - 6 \cdot - 5) = \ln (16 - 2 x)$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot - 5 - 6 x - 6 \cdot - 5) = \ln (16 - 2 x)$

Paso 1.3.1.2

Mueve $- 5$ a la izquierda de $x$ .

$\ln (x^{2} - 5 \cdot x - 6 x - 6 \cdot - 5) = \ln (16 - 2 x)$

Paso 1.3.1.3

Multiplica $- 6$ por $- 5$ .

$\ln (x^{2} - 5 x - 6 x + 30) = \ln (16 - 2 x)$

Paso 1.3.2

Resta $6 x$ de $- 5 x$ .

$\ln (x^{2} - 11 x + 30) = \ln (16 - 2 x)$

Paso 2

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$x^{2} - 11 x + 30 = 16 - 2 x$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Suma $2 x$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 11 x + 30 + 2 x = 16$

Paso 3.1.2

Suma $- 11 x$ y $2 x$ .

$x^{2} - 9 x + 30 = 16$

Paso 3.2

Resta $16$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 9 x + 30 - 16 = 0$

Paso 3.3

Resta $16$ de $30$ .

$x^{2} - 9 x + 14 = 0$

Paso 3.4

Factoriza $x^{2} - 9 x + 14$ con el método AC.

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Paso 3.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $14$ y cuya suma es $- 9$ .

$- 7, - 2$

Paso 3.4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 7) (x - 2) = 0$

Paso 3.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 3.6

Establece $x - 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.6.1

Establece $x - 7$ igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Paso 3.6.2

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 7$

Paso 3.7

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.7.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 3.7.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 3.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 7) (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = 7, 2$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\ln (x - 6) + \ln (x - 5) = \ln (16 - 2 x)$ sea verdadera.

$x = 7$