Trigonometría Ejemplos

$\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} = 2 \csc (x)$

Paso 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$

Paso 2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1

Para escribir $\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$

Paso 2.2

Para escribir $\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Paso 2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $\sin (x) (1 + \cos (x))$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.3.1

Multiplica $\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)}$ por $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Paso 2.3.2

Multiplica $\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ por $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))} + \frac{\sin (x) \sin (x)}{(1 + \cos (x)) \sin (x)}$

Paso 2.3.3

Reordena los factores de $(1 + \cos (x)) \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))} + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x)) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Paso 2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1

Expande $(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 (1 + \cos (x)) + \cos (x) (1 + \cos (x)) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Paso 2.5.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \cos (x) + \cos (x) (1 + \cos (x)) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Paso 2.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Paso 2.5.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.2.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{1 + 1 \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Paso 2.5.2.1.2

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$\frac{1 + \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Paso 2.5.2.1.3

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$\frac{1 + \cos (x) + \cos (x) + \cos (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Paso 2.5.2.1.4

Multiplica $\cos (x) \cos (x)$ .

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Paso 2.5.2.1.4.1

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 + \cos (x) + \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Paso 2.5.2.1.4.2

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 + \cos (x) + \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Paso 2.5.2.1.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1 + \cos (x) + \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Paso 2.5.2.1.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1 + \cos (x) + \cos (x) + \cos^{2} (x) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Paso 2.5.2.2

Suma $\cos (x)$ y $\cos (x)$ .

$\frac{1 + 2 \cos (x) + \cos^{2} (x) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Paso 2.5.3

Multiplica $\sin (x) \sin (x)$ .

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Paso 2.5.3.1

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 + 2 \cos (x) + \cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Paso 2.5.3.2

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 + 2 \cos (x) + \cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Paso 2.5.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1 + 2 \cos (x) + \cos^{2} (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Paso 2.5.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1 + 2 \cos (x) + \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Paso 2.5.4

Reescribe $1 + 2 \cos (x) + \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)$ en forma factorizada.

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Paso 2.5.4.1

Reorganiza los términos.

$\frac{1 + 2 \cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Paso 2.5.4.2

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{1 + 2 \cos (x) + 1}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Paso 2.5.4.3

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 + 2 \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Paso 2.5.4.4

Factoriza $2$ de $2 + 2 \cos (x)$ .

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Paso 2.5.4.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Paso 2.5.4.4.2

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1 + 2 \cos (x)$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Paso 2.6

Cancela el factor común de $1 + \cos (x)$ .

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Paso 2.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Paso 2.6.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{\sin (x)}$

Paso 3

Reescribe $\frac{2}{\sin (x)}$ como $2 \csc (x)$ .

$2 \csc (x)$

Paso 4

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} = 2 \csc (x)$ es una identidad