Trigonometría Ejemplos

$\tan (x) + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} = \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\tan (x) + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$

Paso 2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$

Paso 2.2

Para escribir $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$

Paso 2.3

Para escribir $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Paso 2.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $\cos (x) (1 + \sin (x))$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.4.1

Multiplica $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ por $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Paso 2.4.2

Multiplica $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ por $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{(1 + \sin (x)) \cos (x)}$

Paso 2.4.3

Reordena los factores de $(1 + \sin (x)) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sin (x) (1 + \sin (x)) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Paso 2.6.2

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Paso 2.6.3

Multiplica $\sin (x) \sin (x)$ .

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Paso 2.6.3.1

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Paso 2.6.3.2

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Paso 2.6.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Paso 2.6.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Paso 2.6.4

Multiplica $\cos (x) \cos (x)$ .

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Paso 2.6.4.1

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Paso 2.6.4.2

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Paso 2.6.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sin (x) + \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Paso 2.6.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Paso 2.6.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{\sin (x) + 1}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Paso 2.7

Cancela el factor común de $\sin (x) + 1$ y $1 + \sin (x)$ .

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Paso 2.7.1

Reordena los términos.

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Paso 2.7.2

Cancela el factor común.

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Paso 2.7.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\cos (x)}$

Paso 3

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\tan (x) + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} = \frac{1}{\cos (x)}$ es una identidad