Trigonometría Ejemplos

$\tan (θ) = \sqrt{3}$

Paso 1

Usa la definición de tangente para obtener los lados conocidos del triángulo rectángulo del círculo unitario. El cuadrante determina el signo en cada uno de los valores.

$\tan (θ) = \frac{opuesto}{adyacente}$

Paso 2

Obtén la hipotenusa del triángulo del círculo unitario. Dado que se conocen los lados opuesto y adyacente, usa el teorema de Pitágoras para obtener el lado restante.

$Hipotenusa = \sqrt{{opuesto}^{2} + {adyacente}^{2}}$

Paso 3

Reemplaza los valores conocidos en la ecuación.

$Hipotenusa = \sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} + {(1)}^{2}}$

Paso 4

Simplifica dentro del radical.

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Paso 4.1

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 4.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

Hipotenusa $= \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(1)}^{2}}$

Paso 4.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Hipotenusa $= \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(1)}^{2}}$

Paso 4.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

Hipotenusa $= \sqrt{3^{\frac{2}{2}} + {(1)}^{2}}$

Paso 4.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.4.1

Cancela el factor común.

Hipotenusa $= \sqrt{3^{\frac{2}{2}} + {(1)}^{2}}$

Paso 4.1.4.2

Reescribe la expresión.

Hipotenusa $= \sqrt{3 + {(1)}^{2}}$

Paso 4.1.5

Evalúa el exponente.

Hipotenusa $= \sqrt{3 + {(1)}^{2}}$

Paso 4.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

Hipotenusa $= \sqrt{3 + 1}$

Paso 4.3

Suma $3$ y $1$ .

Hipotenusa $= \sqrt{4}$

Paso 4.4

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

Hipotenusa $= \sqrt{2^{2}}$

Paso 4.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

Hipotenusa $= 2$

Paso 5

Obtén el valor del seno.

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Paso 5.1

Usa la definición de seno para obtener el valor de $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Paso 5.2

Sustituye los valores conocidos.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 6

Obtén el valor del coseno.

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Paso 6.1

Usa la definición de coseno para obtener el valor de $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos.

$\cos (θ) = \frac{1}{2}$

Paso 7

Obtén el valor de la cotangente.

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Paso 7.1

Usa la definición de cotangente para obtener el valor de $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos.

$\cot (θ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Paso 7.3

Simplifica el valor de $\cot (θ)$ .

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Paso 7.3.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (θ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 7.3.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 7.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 7.3.2.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 7.3.2.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 7.3.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 7.3.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 7.3.2.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 7.3.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 7.3.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 7.3.2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 7.3.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.3.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 7.3.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 7.3.2.6.5

Evalúa el exponente.

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 8

Obtén el valor de la secante.

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Paso 8.1

Usa la definición de secante para obtener el valor de $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Paso 8.2

Sustituye los valores conocidos.

$\sec (θ) = \frac{2}{1}$

Paso 8.3

Divide $2$ por $1$ .

$\sec (θ) = 2$

Paso 9

Obtén el valor de la cosecante.

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Paso 9.1

Usa la definición de cosecante para obtener el valor de $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Paso 9.2

Sustituye los valores conocidos.

$\csc (θ) = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Paso 9.3

Simplifica el valor de $\csc (θ)$ .

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Paso 9.3.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (θ) = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 9.3.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 9.3.2.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 9.3.2.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 9.3.2.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 9.3.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 9.3.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 9.3.2.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 9.3.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 9.3.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 9.3.2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 9.3.2.6.5

Evalúa el exponente.

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 10

Esta es la solución de cada valor trigonométrico.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos (θ) = \frac{1}{2}$

$\tan (θ) = \sqrt{3}$

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\sec (θ) = 2$

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$