Trigonometría Ejemplos

$\sin (2 x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$2 x = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1

El valor exacto de $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ es $- \frac{π}{3}$ .

$2 x = - \frac{π}{3}$

Paso 3

Divide cada término en $2 x = - \frac{π}{3}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.1

Divide cada término en $2 x = - \frac{π}{3}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{3}}{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{3}}{2}$

Paso 3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{3}}{2}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = - \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 3.3.2

Multiplica $- \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 3.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 3}$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Paso 4

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$2 x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Paso 5

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 5.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$2 x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Paso 5.2

El ángulo resultante de $\frac{4 π}{3}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$2 x = \frac{4 π}{3}$

Paso 5.3

Divide cada término en $2 x = \frac{4 π}{3}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $2 x = \frac{4 π}{3}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 5.3.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $4 π$ .

$x = \frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 5.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 5.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{2 π}{3}$

Paso 6

Obtén el período de $\sin (2 x)$ .

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Paso 6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 6.2

Reemplaza $b$ con $2$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Paso 6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Paso 6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 π}{2}$

Paso 6.4.2

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 7

Suma $π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 7.1

Suma $π$ y $- \frac{π}{6}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{6} + π$

Paso 7.2

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 7.3

Combina fracciones.

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Paso 7.3.1

Combina $π$ y $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 7.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Paso 7.4

Simplifica el numerador.

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Paso 7.4.1

Mueve $6$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{6 \cdot π - π}{6}$

Paso 7.4.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$\frac{5 π}{6}$

Paso 7.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{5 π}{6}$

Paso 8

El período de la función $\sin (2 x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , para cualquier número entero $n$